Одни и те же величины выраженных в стоимостной форме результатов и затрат инвестиционного проекта, получение (осуществление) которых ожидается в различные моменты времени, не эквивалентны друг другу. Это объясняется наличием возможности альтернативного вложения капитала и получения соответствующего дохода за период, который разделяет рассматриваемые моменты времени. Данный факт положен в основу приведения разновременных денежных потоков во времени. При этом учитывается возможность реинвестирования доходов, получаемых от альтернативного использования капитала, что выражается в применении формулы сложных процентов для приведения прошлых сумм к будущим (компаундирование):

где К" будущая стоимость денежной суммы;

К текущая стоимость денежной суммы;

Е альтернативная норма дохода;

tинтервал времени приведения (порядковый номер шага на протяжении расчетного периода).

Некоторая денежная сумма в будущем К" (в конце t-го периода) экономически эквивалентна меньшей сумме К в начальный момент времени, которая обеспечивает рост капитала до уровня К" при инвестировании по норме дохода на капитал Е с учетом рефинансирования доходов по той же норме. Очевидно, что такая сумма определяется по следующей формуле:

,

где  t коэффициент дисконтирования (или фактор текущей стоимости), который определяется по формуле:

Процесс приведения будущих результатов и затрат к текущему моменту (расчетному моменту) получил наименование "дисконтирование", а используемая для этой цели норма дохода на капитал – "норма дисконта".

Таким образом, приведенная к расчетному моменту сумма некоторой серии денежных выплат (С т) определяется по формуле:

где В t денежная выплата на конецt-го шага (условно считается, что денежная выплата за периодtполучена (понесена) в конце периода);

t н, t к начальный и конечный шаги на протяжении расчетного периода соответственно.

При этом для расчетного (базового) шага (подпериода расчетного периода), к которому выполняется приведение всех разновременных стоимостных показателей (как правило, года) t= 0. Расчетным моментом является конец расчетного шага. Периоды (шаги), которые следуют за расчетным шагом, получают положительные порядковые номера, а периоды (шаги), которые предшествуют ему – отрицательные.

На практике применяется ряд прикладных формул, позволяющих в определенных случаях упростить расчеты текущей или будущей стоимости:

Текущая стоимость обычного аннуитета. Выплаты осуществляются в конце периодов, начиная с первого, равными суммами в течение nпериодов. Сумма (С т.а), эквивалентная такой серии платежей на начало первого периода, определяется по формуле:

.

Взнос на амортизацию показывает, каким должен быть аннуитетный платеж В t , чтобы текущая стоимость аннуитета, описанного выше, составила С т.а. Определяется по формуле:

.

Будущая стоимость обычного аннуитета. Выплаты осуществляются в конце периодов, начиная с первого, в течении n периодов. Будущая стоимость аннуитета на конец n-го периода определяется по формуле:

.

Взнос на формирование показывает, каким должен быть аннуитетный платеж В t , чтобы будущая стоимость аннуитета, описанного выше (п.3), составила С б.а. Определяется по формуле:

.

Текущая стоимость бесконечного аннуитета. Под бесконечным аннуитетом понимают серию денежных выплат, которая не ограничена во времени, то есть
. Текущая стоимость такого аннуитета определяется по формуле:

.

На базе приведенных выше моделей применяется упрощенный метод приведения будущих денежных потоков – прямая капитализация. В общем виде модель выглядит следующим образом:

где Н норма прямой капитализации (или ставка капитализации, деленная на 100%);

В денежная выплата, которая принята за базовую.

Норма прямой капитализации определяется из соотношения:

.

Когда выплаты равны по периодам, а срок проекта не ограничен, Н=Е. В случае, когда выплаты равны по годам и срок проекта ограничен, норма прямой капитализации равна взносу на амортизации единицы, или сумме ставки дисконта и фактора фонда возмещения. Прямая капитализация может использоваться и в других случаях, если удается аналитически разрешить данное соотношение относительно Н. При этом разность Н–Е получила название "норма возврата капитала" и, в случае оценки эффективности инвестиционного проекта, отражает долю доходов, необходимую для простого воспроизводства капитала в течение жизненного цикла инвестиций, с учетом фактора времени.

Важным фактором при дисконтировании является периодичность ожидаемых результатов и затрат. Так, если норма дисконта определена как годовая, а получение доходов ожидается, например, ежемесячно, целесообразно применение следующей формулы для расчета коэффициента дисконтирования:

,

где mколичество более мелких периодов, на которые разделен основной.

В предельном случае, когда количество периодов, на которые разделяется основной, неограниченно возрастает, то есть
, формула для расчета коэффициента дисконтирования принимает вид:

.

где eоснование натурального логарифма.

Данная формула позволяет получить предельно низкие значения коэффициента дисконтирования (и предельно высокие значения коэффициента компаундирования) при заданной норме дисконта и периоде приведения.

2) Срок окупаемости – период, необходимый для возврата капиталовложений за счет притока денежных средств от осуществления проекта.

Срок окупаемости =делением суммы капиталовложений на величину притока денежных средств. Для более объективной оценки, в срок окупаемости добавляется период продолжения строительства.

Срок окупаемости - временной период от начала капиталовложений до того момента, когда результат становится положительным и в дальнейшем знак не меняется.

3) Точка безубыточности – цель расчета - определение точки равновесия, в которой поступления от реализации равны издержкам на проданную продукцию.

Когда объем реализации ниже этой точки, предприятие терпит убытки, а в точке, где поступления=издержкам, предприятие безубыточно. Прежде, чем рассчитать точку безубыточности, необходимо убедиться, что соблюдаются следующие условия и допущения:

a. объем производства = объему реализации

b. переменные издержки изменяются пропорционально объему производства и, следовательно, полные издержки производства так же изменяются пропорционально его объему

c. цены на товары или на объем товаров не изменяется на протяжении анализируемого периода времени, поэтому общий объем реализации является линейной функцией от цен и количества проданной продукции

d. величины издержек и продаж – годовые. На практике: предельные допущения не всегда выдерживаются, точка безубыточности должна анализироваться для различных постоянных и переменных издержек, а так же постоянных продажных цен.

Фактор времени в расчетах экономической эффективности.

В практических инвестиционных операциях сумма денег, вне зависимости от их назначения или происхождения, так или иначе, связывается с конкретными моментами или периодами времени. Фактор времени, особенно в долгосрочных операциях, играет не меньшую, а иногда – даже большую роль, чем размеры денежных сумм. Необходимость учета временного фактора вытекает из сущности инвестирования и выражается в принципе неравноценности денег, относящихся к разным моментам времени. Отмеченная неравноценность двух одинаковых по абсолютной величине сумм связана, прежде всего, с тем, что имеющиеся сегодня деньги, теоретически, могут быть инвестированы и принести доход в будущем. Полученный доход, в свою очередь, может быть реинвестирован и т.д.. В экономической практике существуют различные методы учета фактора времени.

Механизм учета фактора времени

1) Если капитальные вложения приводятся в годы начала строительства, то они делятся на коэффициент приведения (дисконтирования).

2) Если капитальные вложения приводятся в годы начала эксплуатации, то они умножаются на коэффициент приведения.

Еn –коэффициент привидения, взятый на уровне банковского процента

Пример: Разработано три варианта осуществления капитальных вложений в объеме 36 млн у.е. Срок освоения инвестиций, сметная стоимость создаваемого объекта одинаковы, но структуры затрат по годам различны.

Табл. «Варианты строительства объекта, мн.у.е»

Определить, какой из вариантов инвестиций является более предпочтительным по фактору времени (прочие факторы не учитываются, если норма дисконта равна 10%)

1) Определим норму дисконта: α1= α2= α3=0,75 α4= α5=0,62

Z2=12,6*0,91+9.6*0.83+7,2*0,75+4,2*0,68=29,18

Наиболее приемлемым вариантом является первый, т.к. затраты минимальные.

Вывод:т.к. срок освоения инвестиций и сметная стоимость создаваемого объекта одинаковы, то это годы начала эксплуатации

1. Имеется два варианта осуществления кап вложений. Срок освоения инвестиций и сметная стоимость создаваемого объекта неодинаковы. Структуры затрат по годам периода различны.

Табл «варианты строительства объекта»

По 1му варианту, Определить, какой из вариантов инвестиций более предпочтителен по фактору времени

(прочие факторы не учитываются, если норма дисконта=10%

Показатели оценки инвестиций, определяемые с учетом фактора времени

В экономической практике для расчета эк.эффективности инвестиций используют показатели:

1) Чистый дисконтированный доход (чистая текущая стоимость)-ЧДД, определяется как сумма текущих эффектов за весь расчётный период, приведенная к начальному шагу, или как превышение интегральных результатов над интегральными затратами.

2) Индекс доходности (индекс прибыльности)

3) Внутренняя норма доходности (внутренняя норма прибыли)

4) Срок окупаемости (с учетом дисконтирования) и др

Чистый дисконтированный доход (чистая текущая стоимость)-ЧДД, определяется как сумма текущих эффектов за весь расчётный период, приведенная к начальному шагу, или как превышение интегральных результатов над интегральными затратами.

ЧДД=∑(от t=0доT) (Pt-Зt)*(1/1+r) Pt-результаты на tом шаге рассчета

Зt-затраты на tом шаге рассчета

T-горизонт расчета, т.е. временной период для принятии решения о вложении средств в какойлибо инвестиционный проект

r-норма дисконта

Если чистый дисконтированный доход имеет положительное значение, то мероприятие, связанное с осуществлением инвестиций является эффективным при данной норме дисконта чем больше ЧДД, тем эффективней проект. При отрицательном ЧДД проект не эффективен.

Пример: определить целесообразность реконструкции предприятия по критерию ЧДД, если кап.затраты составляют 300 млн.у.е.

Табл. «показатели по проекту реконструкции предприятия»

т.ч. амортизация 31,8)

Наилучший альтернативный вариант вложения средств имееет доходность 50% годовых. Период создания ОФ(до начала выпуска продукции) составляет 1 год.

Источники собственных средств предприятия: прибыль, амортизация, дивиденды, и тд Определим горизонт расчета: 1й год: приобретение оборудования, транспортировка, монтаж, приобретение сырья и материалов+5 лет получения дохода, если он >0, то предприятие целесообразно.

Определим доходность:

Итого по столбцу ЧДД: 93,6 α2==0,44

При норме дисконта 50% реконструкция предприятия основного капитала

Альтернативный вариант вложения средств:

Внутренняя норма доходности(ВНД) представляет собой ту норму дисконта (Чвн), при которой величина произведенный=приведенных вложений

∑=Kt\(1+Чвн)t

Кt-капитальные затраты на tом шаге расчета

Если резу-ты расчетов ЧДД и ВНД приводят к противоположным выводам, предпочтение следует отдать ЧДД, т.к. ВНД в ряде случаев менее точна.

ВНД при расчете ВНД определяется путем подбора.

Пример: определить внутреннюю норму доходности по инвестиционному проекту в млн.у.е.

Предположим, что α=50% Итого:-216.68<>271,8

Предположим,ч то α=70%ДЗ и кап затраты 350,4

ДЗ для определения показателей общей эффективности производства имеются исходные данные, представленные в таблице:

Определить общую рентабельность, затраты на 1 руб. товарной продукции, пр-сть труда, фондоотдача, рентабельность ОФ, фондоемкость

Изготовляя продукцию, предприятие использует орудия труда (здания, сооружения, оборудование) и предметы труда (сырье, материалы, топливо). Орудия труда и предметы труда в своей совокупности образуют средства производства. Средства производства находятся в постоянном обращении. Однако обращение отдельных элементов средств производства в процессе хозяйственной деятельности происходит по – разному, что позволило разделить средства производства на основной капитал и оборотный капитал.

Основные производственные фонды – та часть средств производства, которые в процессе производства используются постепенно в течении нескольких производственных циклов и стоимость которых переносится на готовый продукт по частям по мере сноса.

Одни из них(машины и оборудование) непосредственно воздействуют на предмет труда, другие (здания и сооружения), создают условия для нормального протекания производства.

Исходя из этого, в экономической практике основные производственные фонды по признаку участия в производстве делятся:

К активной части относится: машинное оборудование, в т.ч.:

o Силовые машины и оборудование – предназначены для выработки и преобразования энергии различных видов – газовый генератор. Паровые машины и тд)

o Рабочее машинны и оборудование

o Вычислительные и регулирующие приборы и устройства

o Либораторное оборудование

o Вычислитеьная техника

К пассивной части:

o Здания и сооружения(инженерно-строительные объекты, которые необходимы для осуществления процесса производства и не связаны с изменением предмета труда

– дороги, мосты, колодцы)

o Передаточные устройства

o Прочее машинное оборудование

o Транспортные средства – принадлежащие предприятию подвижной состав ж/д, водный, автомобильный транспорт.

o Инструмент

К основным непроизводственным фондам:

o Объекты здравоохранения

o Учебные заведения при предприятиях и тд

Основные фонды, с точки зрения начисления амортизации, делятся на 10 групп:

1) Все недолговечные основные фонды со сроком полезного использования от 1 до 2х лет

2) Основные фонды со сроком полезного использования от 2х до 3х лет включительно

3) ….

4) 9) от 25 до 30 лет включительно

5) 10) свяше30 лет

Производственная структура основных производственных фондов – соотношение различных групп основных производственных фондов по вещественно-натуральным составам в общей среднегодовой стоимости.

В экономической практике различают также технологическую структуру основных фондов, возрастную структуру основных фондов и прогрессивную структуру.

Технологическая структура – характеризует их распределение по структурным подразделениям предприятия в процентном выражении от их общей стоимости, например, как доля отдельных видов станков в общем количестве станочного фонда.

Возрастная структура – характеризует их распределение по возрастным группам:

 До 5 лет

 От5 до 10 лет

 От 10 до 15 лет

 От 15 до 20 лет

 Свыше 20 лет

По структуре основных производственных фондов можно сделать выводы:

 Если доля активной части фондов выше,

 значит выше уровень технической вооруженности производства,

 значит больше продукции должно быть произведено на каждый рубль основных фондов

 т.е. данная структура будет прогрессивной

2. Факторы, влияющие на структуру основных фондов

 НТП

 Тех.струткутра кап.вложений, т.е. отношение между направлениями капитальных вложений на строительно-монтажные работы, на машины и оборудование, на здания\сооружения и тд

 Отраслевые особенности, напр-р в машиностроительном комплексе выше доля машин и оборудования

 Размеры предприятия, напр-р процессы концентрации производства обеспечивают относительную экономию капитальных вложений на зданиях и сооружения, поэтому на крпных предприятиях, как правило, более высокая доля машин и оборудовнаия и ниже, чем на мелких, доля зданий и сооружений

3. Оценка О.Ф.

В практике учет соновых фондов осуществляется в нат показателях и ден.ввыр-и.

Учет основных фондов в нат.выр-и необх.для

 опред-я величины производственной мощности

 для определения путей повышения её использования

 для составления баланса оборудования

Денежная оценка позволяет поределить стоимость ОФ, динамику, их структуру, динамику, степень износа, размер амортизационных отчислений

Различают первоналачльную, восстановительную и остаточную стоимости

Первоначальная стоимость (ПС) вкл в себя приобретение оборудования, транспортировку, монтаж или создание основных производственных фондов

Восстановительная стоимость (ВС) – стоимость основных производственных фондов на опр дату в ценах и усл-ях, сложившихся на данный период времени

Статочная стоимость = восстановительная-износа

Определить первоначальную, восстановительную и остаточную ст-ть

ПС=1 500*10=15 000

1) определим величину износа=100 000*20%

Переоценка основных фондов производится 2мя методами:

1) экспертным - создаются спец.комиссии из наиболее опытных и квалифицированных инженеров и экономистов. Переоценка в этом случае осуществляется поср-вом объектной инвентаризации средств труда. Данный способ дает довольно высокую точность расчетов, однако трудоемок и дорогостоящ.

2) посредством системы индексов цен – переоценка осущ-ся путем умножения балансовой стоимости объекта на индекс цены, установленный для данной группы ОФ. Система индексов цен утверждается постновлением правительства РФ. Менее дорогостоящ и менее точен.

В условиях инфляции переоценка:

1) позволяет эффективно оценить истинную стоимость основных фондов

2) более правильно и точно определить затраты на производство и реализацию продукции

3) более точно определить вел-ну амортизационных осуществлений, что способствует нормальному процессу воспроизводства основных фондов

4. Воспроизводство ОФ

Воспроизводство ОФ – непрерывный процесс их обновления путем приобретения новых, реконструкции, технического перевооружения, модернизации и кап ремонта действующих.

В процессе воспроизводства решаются задачи:

1) Возмещение выбывших по различным причинам средств труда. Чтобы не допустить уменьшения производственных мощностей предприятия

2) Увеличение массы применяемых средств труда

3) Улучшение технологической структуры производственного аппарата

Политика в области воспроизводства должна осуществляться как на макротак и на микроуровне. Основная задача воспроизводственной политики на микро-уровне заключается в создании предприятий благоприятных условий для простого и расширенного воспроизводства, для постоянного обновления техники в соответсвии с темпами научно-технического прогресса. Эта задача решается путем осущзествления соответствующей амортизационной,инвестиционной и налоговой политики.

5. Показатели воспроизводства

Количественные характеристики воспроизводства отражаются в балансе основных фондов, которые можно представить в виде соотношений:

Фк=Фн+Фввод-Фвы

Фк-основные фонды

Фн-ОФ на начало года

Фввод-вводимые ОФ

Фвыб-выбывшие ОФ

Для количественной характеристики производства используются специальные коэффициенты:

Степень обновления характеризуется коэффициентом обновления, который показывает долю введенных в действие в данном периоде ОФ, в общей их стоимости

Коэффициент выбытия =относшение стоимости выбывших в течение данного периода ОФ к их стоимости на начало периода.

Для целей анализа и расчета многих показателей определяют так же среднегодовую ст-ть ОФ

ОПФ(-)средн=Фн+(Фввод*а1/12)-(Фвыб*а2/12)

Большинство хозяйственных операций (приобретение основных средств, покупка/продажа ценных бумаг, лизинг, получение/погашение банковских кредитов, анализ инвестиционных проектов и др.) порождают денежные потоки. Осуществление этих операций сопровождается множеством выплат и поступлений денежных средств, образуя денежный поток, распределенный во времени.

В связи с этим в процессе управления финансами предприятия возникает необходимость в проведении специальных расчетов, связанных с движением денежных потоков в различные периоды времени. Ключевую роль в этих расчетах играет оценка стоимости денег во времени. Концепция такой оценки базируется на том, что стоимость денег с течением времени изменяется с учетом нормы прибыли, сложившейся на финансовом рынке, в качестве которой выступает ставка ссудного процента или норма доходности по государственным ценным бумагам.

Из принципа временной стоимости денег (Time Value of Money, TVM) вытекает два важных следствия:

• необходимость учета фактора времени, в особенности при проведении долгосрочных финансовых операций;

• некорректность суммирования денежных величин, относящихся к разным периодам времени.

Рассмотрим отдельные элементы методического инструментария стоимости денег.

Процент — сумма дохода от предоставления капитала в долг или плата за пользование ссудным капиталом во всех его формах (депозитный и кредитный процент, по облигациям и векселям).

Простой процент — сумма дохода, начисляемого к основной сумме капитала в каждом интервале, по которой дальнейшие расчеты не производят.

Сложный процент — сумма дохода, начисляемого в каждом интервале, которую не выплачивают, а присоединяют к основной сумме капитала (вклада) в последующем платежном периоде.

Процентная ставка — удельный показатель, в соответствии с которым в установленные сроки выплачивают сумму процентов в расчете на единицу капитала (вклада). На практике процентная ставка выражает соотношение годовой суммы процентного дохода к объему основного долга.

Будущая стоимость денег (Future Value, FV) — сумма вложенных в настоящий момент денежных средств, в которую они превратятся через определенный период времени с учетом выбранной процентной ставки.

Настоящая стоимость денег (Present Value, PV) — сумма будущих денежных средств (вклада), приведенных с учетом конкретной процентной ставки к настоящему моменту времени.

Наращение стоимости (компаундинг — compounding) — процесс пересчета настоящей стоимости денежных средств (вклада) в их будущую стоимость в конкретном периоде времени путем добавления к первоначальной сумме начисленной величины процента.

Дисконтирование стоимости (discounting) — процесс приведения будущей стоимости денежных средств (вклада) к их настоящей стоимости путем исключения из будущей суммы соответствующей величины процента (дисконта). Посредством такой финансовой операции достигают сопоставимости текущей стоимости предстоящих денежных потоков.

Период начисления — общий период времени, в течение которого осуществляют процесс наращения или дисконтирования денежной суммы (вклада).

Интервал начисления - это минимальный период, по прошествии которого происходит начисление процентов.

Декурсивный способ начисления процентов — способ, при котором проценты начисляются в конце каждого интервала начисления. Их величина определяется исходя из величины предоставляемого капитала. Соответственно, декурсивная процентная ставка представляет собой выраженное в процентах отношение суммы начисленного за определенный интервал дохода к сумме, имеющейся на начало данного интервала.

Антисипативный способ (предварительный) начисления процентов — это способ, при котором проценты начисляются в начале каждого интервала начисления. Сумма процентных денег определяется исходя из наращенной суммы. Процентной ставкой будет выраженное в процентах отношение суммы дохода, выплачиваемого за определенный интервал, к величине наращенной суммы, полученной по прошествии этого интервала. Определяемая таким способом процентная ставка называется учетной ставкой, или антисипативным процентом.

Наращение по простым процентам

Простые проценты используются в краткосрочных финансовых операциях, срок проведения которых меньше года или равен ему.

Наращение по годовой ставке простых процентов осуществляется по формуле:

FV = PV(1 + r × n), (1)

где FV — будущая стоимость;

PV — первоначальная стоимость;

n — число периодов (лет);

r — процентная ставка.

Пример 1

Клиент сделал вклад в банк в сумме 10 000 руб. под 12 % годовых сроком на пять лет. По формуле (1) находим:

FV = 10 000(1 + 0,12 × 5) = 16 000 руб.

Сумма начисленных процентов составит 6000 руб. (16 000 - 10 000).

Если продолжительность краткосрочной операции выражена в днях, то срок ее проведения корректируется следующим образом:

где t — число дней проведения операции;

В — временная база (число календарных дней в году).

Тогда будущую стоимость операции можно определить:

Время вклада (ссуды) может вычисляться или с учетом точного числа в месяцах, или при допущении, что расчетная продолжительность любого месяца равна 30 дням.

В результате конкретные расчеты по начислению процентов могут вестись по трем вариантам:

365/365 — точное число дней проведения операции и фактическое число дней в году (точные проценты);

365/360 — точное число дней проведения операции и финансовый год (12 месяцев по 30 дней);

360/360 — приближенное число дней проведения операции (месяц принимается равным 30 дням) и финансовый год (обыкновенные проценты).

Для одних и тех же условий начисления процентов проведение расчетов по этим вариантам приводит к несколько отличающимся финансовым последствиям.

Пример 2

Акционерное общество получило в банке ссуду в размере 200 тыс. руб. под 15% годовых на срок с 15 февраля до 15 апреля. Определить сумму, которую необходимо возвратить банку.

Сначала нужно определить число дней использования ссуды: 15 февраля - 46-й день в году, 15 апреля - 105-й день в году. Отсюда точный срок ссуды - 59 дней. Тогда, по формуле (3) находим:

Дисконтирование по простым процентам

Существует два способа дисконтирования.

Математическое дисконтирование — способ, основанный на решении задачи, обратной определению будущей стоимости. При проведении расчетов здесь используется процентная ставка.

С учетом принятых ранее обозначений формула дисконтирования по ставке r будет иметь вид:

(4)

Доход банка (FV - PV) называют дисконтом, а используемую норму приведения r — декурсивной ставкой процентов.

Пример 3

Какую цену заплатит инвестор за бескупонную облигацию, номинальная стоимость которой 500 тыс. руб., а срок погашения — 270 дней, если требуемая норма доходности — 20 %?

По формуле (4) при использовании обыкновенных процентов:

PV = 500 / (1 + 0,2 × 270 / 360) = 434,78 тыс. руб.;

точных процентов:

PV = 500 / (1 + 0,2 × 270 / 365) = 435,56 тыс. руб.

Банковское дисконтирование применяется при банковском учете векселей, при этом проценты начисляются на сумму, подлежащую уплате в конце срока операции. При проведении расчетов используется учетная ставка d:

(5)

При дисконтировании по учетной ставке чаще всего используют временную базу 360/360 или 360/365. Используемую при этом норму приведения d называют антисипативной ставкой процентов.

Пример 4

Простой вексель на сумму 500 тыс. руб. со сроком погашения один год учитывается в банке через 270 дней по простой учетной ставке 20 %. Какую сумму получит владелец векселя?

Используем формулу (5), учитывая, что n — это разность во времени между моментом учета и сроком погашения векселя:

PV = 500 (1 - 0,2 × 90 / 360) = 475 тыс. руб.

Применение двух рассмотренных методов дисконтирования к одной и той же сумме приводит к разным результатам, даже при r = d. Учетная ставка дает более быстрое снижение суммы, чем обычная.

Пример 5

Простой вексель на сумму 100 тыс. руб. с оплатой через 90 дней учитывается в банке немедленно после получения. Необходимо определить сумму, полученную владельцем векселя при процентной/учетной ставке 15 %.

При использовании процентной ставки по формуле (4):

PV = 100 / (1 + 0,15 × 90 / 360) = 96,39 тыс. руб.

При использовании учетной ставки по формуле (5):

PV = 100 (1 - 0,15 × 90 / 360) = 96,25 тыс. руб.

Учетная ставка d применяется и для наращения по простым процентам (например, при определении будущей суммы контракта):

(6)

Изменим условия примера 5 следующим образом.

Пример 6

На какую сумму должен быть выписан вексель, чтобы поставщик, проведя операцию учета, получил стоимость товаров (100 тыс. руб.) в полном объеме, если учетная ставка — 15 %?

По формуле (6) определяем будущую стоимость (номинал) векселя:

FV = 100 / (1 - 0,15 × 90 / 360) = 103,896 тыс. руб.

Величина процентной ставки r или учетной ставки d может быть определена из соотношений (1) и (5):

(7)

(8)

Пример 7

Краткосрочное обязательство со сроком погашения 90 дней было приобретено по цене 98,22 ед. от номинала. Необходимо определить доходность операции для инвестора.

Она составляет (с использованием обыкновенных процентов):

Срок операции в днях определяется следующим образом:

Пример 8

Необходимо определить срок владения обязательством стоимостью 98,22 ед., погашаемого по номиналу, если требуемая норма доходности 7,2 %.

Эквивалентность процентных ставок r и d

Эквивалентные процентные ставки — это такие ставки разного вида, применение которых при одинаковых начальных условиях дает одинаковые финансовые результаты.

Эквивалентные процентные ставки необходимо знать в случаях, когда существует возможность выбора условий финансовой операции и требуется инструмент для корректного сравнения различных процентных ставок.

Вывод формул эквивалентности базируется на равенстве соответствующих множителей наращения:

1 + n × r = (1 - n × d) - 1. (11)

С учетом формулы (11) для операций с продолжительностью менее года соотношения эквивалентности примут вид:

• временная база одинакова и равна В (360 или 365 дней):

• временная база ставки r равна 365 дням, а d — 360 дням:

Пример 9

Срок уплаты по векселю — 250 дней. При этом ставка простых процентов измеряется при временной базе 365 дней, а простая учетная ставка — при временной базе 360 дней. Какова будет доходность, измеренная в виде ставки простых процентов, учета векселя по простой учетной ставке 10 %?

Используя формулу (14) для r при заданных временных базах, получим:

r = 365 × 0,1 / (360 - 250 × 0,1) = 0,1089, или 10,89 %.

Допустим, что настоящая стоимость векселя — 100 000 руб. Тогда его номинальная стоимость по формуле (3) составит:

Наращение по сложным процентам

Сложные проценты применяются, как правило, в финансовых операциях, срок проведения которых более года. При этом базой исчисления процентов является как исходная сумма финансовой операции, так и сумма уже накопленных к этому времени процентов.

Наращение по сложным процентам имеет вид:

FV n = PV (1 + r) n . (16)

Наращение по сложным процентам подразумевает реинвестирование полученных доходов или капитализацию.

Начисление сложных процентов может осуществляться не один, а несколько раз в году. В этом случае оговаривается номинальная ставка процентов j — годовая ставка, по которой определяется величина ставки процентов, применяемая на каждом интервале начисления.

При m равных интервалах начисления и номинальной процентной ставке j эта величина считается равной j / m. Тогда, если срок финансовой операции составляет n лет, выражение для определения наращенной суммы (16) примет вид:

При увеличении числа периодов начисления m будущая величина FV mn также возрастает.

Пример 10

Первоначальная сумма вложения 200 тыс. руб. определить наращенную сумму через пять лет при использовании сложной ставки процентов в размере 28% годовых. Решить пример для случаев, когда проценты начисляются по полугодиям, поквартально.

По формуле (16) для сложных процентных ставок:

FV = 200(1 + 0,28) 5 = 687,2 тыс. руб.

По формуле (17) для начисления по полугодиям:

FV = 200(1 + 0,28 / 2) 10 = 741,4 тыс. руб.

По той же формуле для поквартального начисления:

FV = 200(1 + 0,28 / 4) 20 = 773,9 тыс. руб.

Если срок финансовой операции n в годах не является целым числом, множитель наращения k определяется по формуле:

k = (1 + r) n a (1 + n b × r), (18)

где n = n a + n b ;

n a — целое число лет;

n b — оставшаяся дробная часть года.

На практике в данном случае часто применяют формулу (16) с соответствующим нецелым показателем степени. Однако этот способ является приблизительным. Чем больше значения входящих в формулу величин, тем погрешность при вычислениях будет больше.

Пример 11

Первоначальная сумма долга равна 50 000 тыс. руб. Необходимо определить наращенную сумму через 2,5 года, используя два способа начисления сложных процентов по ставке 25 % годовых.

По формуле (18) получаем:

FV = 50 000(1 + 0,25) 2 (1 + 0,5 × 0,25) = 87 890,6 тыс. руб.

Для второго способа используем формулу (16) с нецелым показателем степени:

FV = 50 000(1 + 0,25) 2,5 = 87 346,4 тыс. руб.

При использовании приблизительного метода упущенная выгода могла бы составить около 550 тыс. руб.

Если начисление сложных процентов осуществляется несколько раз в году и общее число интервалов начисления не является целым числом (mn — целое число интервалов начисления, l — часть интервала начисления), то выражение (17) принимает вид:

(19)

Для целого числа периодов начисления используется формула сложных процентов (16), а для оставшейся части — формула простых процентов (1).

На практике часто возникает необходимость сравнения условий финансовых операций, предусматривающих различные периоды начисления процентов. В этом случае соответствующие процентные ставки приводят к их годовому эквиваленту по формуле:

Полученную при этом величину называют эффективной процентной ставкой (effective percentage rate — EPR), или ставкой сравнения.

Пример 12

На четырехлетний депозит в 10 000 руб. производится ежеквартальное начисление сложных процентов по ставке 2,5 %, то есть из расчета 10 % годовых. Будет ли эквивалентной инвестицией депозит в 10 000 руб., вложенный на тот же срок под 10 %, начисляемых один раз в год?

Рассчитаем эффективную ставку для обеих операций:

• ежеквартально: EPR = (1 + 0,1 / 4) 4 - 1 = 0,103813;

• ежегодно: EPR = (1 + 0,1 / 1) 1 - 1 = 0,10.

Таким образом, условия помещения суммы в 10 000 руб. на депозит сроком на четыре года под 2,5 %, начисляемых ежеквартально, будут эквивалентными годовой ставке, равной 10,3813 %. Следовательно, первая операция более выгодна для инвестора.

Если известна величина EPR, номинальная ставка процентов может быть определена следующим образом:

Дисконтирование по сложным процентам

Рассмотрим использование при математическом дисконтировании сложных процентных ставок:

Если проценты будут начисляться m раз в году, то формула (22) примет вид:

Пример 13

Банк производит начисление процентов на внесенную сумму по сложной процентной ставке, равной 20 % в год. Какую сумму следует положить на депозит при условии, что вкладчик рассчитывает получить 10 000 тыс. руб. через 10 лет? Требуется рассмотреть два варианта начисления процентов — ежегодное и ежеквартальное.

При ежегодном начислении процентов по формуле (22):

PV = 10 000 / (1 + 0,2) 10 = 1615,1 тыс. руб.

При ежеквартальном начислении процентов по формуле (23):

PV = 10 000 / (1 + 0,2 / 4) 40 = 1420,5 тыс. руб.

Использование сложной учетной ставки

Для расчета операции дисконтирования по сложной учетной ставке используется формула:

PV n = FV n (1 - d) n . (24)

Пример 14

Владелец векселя номинальной стоимостью 500 тыс. руб. и периодом обращения 1,5 года предложил его банку сразу для учета, то есть за 1,5 года до погашения. Банк согласился учесть вексель по сложной учетной ставке 20 % годовых. Требуется определить дисконт, полученный банком, и сумму, выданную владельцу векселя.

Используя формулу (24), находим:

PV = 500 (1 - 0,2) 1,5 = 357,77 тыс. руб.

Дисконт банка составит: 500 - 357,77 = 142,23 тыс. руб.

Для данных условий определим сумму, которую получил бы владелец векселя, если бы банк произвел учет векселя по простой учетной ставке 20 %. Для этого используем формулу (5):

PV = 500 (1 - 0,2 × 1,5) = 350 тыс. руб.

Дисконт банка составит 500 - 350 = 150 тыс. руб.

Таким образом, банку выгоднее учитывать вексель по простой учетной ставке.

Если дисконтирование по сложной учетной ставке производится m раз в году, расчетная формула будет иметь следующий вид:

Пример 15

Сохраним условия предыдущего примера, но пусть расчет дисконтирования производится ежеквартально, то есть m = 4.

По формуле (25) получим:

PV = 500 (1 - 0,2 / 4) 6 = 367,55 тыс. руб.

Дисконт банка составит: 500 - 367,55 = 132,45 тыс. руб.

Доход банка при ежеквартальном дисконтировании будет меньше, чем при ежегодном дисконтировании, на: 142,23 - 132,45 = 9,78 тыс. руб.

При дисконтировании с начислением процентов за периоды менее года может использоваться понятие «эффективная сложная учетная ставка». Эффективная сложная учетная ставка, эквивалентная сложной учетной ставке при заданном значении m, определяется по формуле:

d эф = 1 - (1 - d / m) m . (26)

Пример 16

Долговое обязательство номинальной стоимостью 500 тыс. руб. должно быть погашено через пять лет. Сложная учетная ставка равна 20 % годовых. Начисление процентов ежеквартальное. Требуется определить настоящую величину стоимости обязательства и эффективную учетную ставку.

Используя формулы (25) и (26), получим:

PV = 500 (1 - 0,2 / 4) 20 = 179,243 тыс. руб.

d эф = 1 - (1 - 0,2 / 4) 4 = 0,18549, или 18,549 %.

Подставив значение 18,549 % в формулу (24), получим:

PV = 500 (1 - 0,18549) 5 = 179,247 тыс. руб.

Расхождение между величинами настоящей суммы, рассчитанными по этим формулам, находятся в пределах точности расчета.

Определение процентной ставки и срока проведения операции

При известных величинах FV, PV и n процентную ставку можно определить по формуле:

Пример 17

Сумма в 10 000 руб., помещенная в банк на четыре года, составила величину 14 641 руб. Необходимо определить доходность операции.

По формуле (27) находим:

r = (14 641 / 10 000) 1/4 - 1 = 0,1, или 10 %.

Длительность операции определяется логарифмированием:

Пример 18

Сумма в 10 000 руб., помещенная в банк под 10 % годовых, составила величину в 14 641 руб. Необходимо определить срок проведения операции.

По формуле (28) находим:

n = log (14 641 / 10 000) / log (1 + 0,1) = 4 года.

Вывод

Приведенные расчетные формулы описывают механизм влияния фактора времени на результат финансовых операций. Их использование позволит избежать ошибок и потерь в условиях снижения покупательной способности денег.

Е. Г. Моисеева,
канд. экон. наук, Арзамасский политехнический институт

Одно из основных положений теории оценки эффективности инвестиционных проектов - необходимость учета фактора времени . Проявления этого фактора:

• динамичность технико-экономических показателей предприятия . Особенно важно учитывать изменения во времени объемов и структуры производимой продукции, норм расхода сырья, численности персонала, длительности производственного цикла, норм запасов и т. п. в период освоения вводимых мощностей, а также в проектах, предусматривающих последовательное техническое перевооружение производства в период реализации проекта или разработку сырьевых месторождений. Динамичность показателей учитывается при формировании исходной информации по шагам расчетного периода;
• сезонность производства или реализации продукции , проявляющаяся в сезонных колебаниях объемов поставки сырья, производства продукции или спроса на нее, а также запасов и дебиторской задолженности. Сезонные колебания особенно существенны в начальный период функционирования введенных производств. Их целесообразно учитывать прежде всего путем надлежащей разбивки расчетного периода на шаги. При существенных сезонных колебаниях показатели проекта зависят от того, в каком именно месяце года начнется производство продукции. Начало расчетного периода целесообразно установить в виде конкретной календарной даты;
• физический износ основных средств , обусловливающий общие тенденции к снижению их производительности и росту затрат на их содержание, эксплуатацию и ремонт на протяжении расчетного периода. Физический износ должен учитываться в исходной информации при формировании производственной программы, операционных издержек (в том числе расходов на периодически проводимый капитальный ремонт) и установлении сроков замены основного технологического оборудования. Рациональные сроки службы основных средств могут определяться на основе расчетов эффективности соответствующих вариантов проекта и в общем случае не обязательно будут совпадать с амортизационными сроками;
• изменение во времени цен на производимую продукцию и потребляемые ресурсы . Учитывается непосредственно при формировании исходной информации для расчетов эффективности;
• изменение во времени параметров внешней среды (цен, ставок, налогов, пошлин, акцизов, размеров минимальной месячной оплаты труда, налогового и иного законодательства и т. п.). Учитывается непосредственно при формировании исходной информации для расчетов эффективности;
• разрывы по времени (лаги) между производством и реализацией продукции и между оплатой и потреблением ресурсов;
• разновременность затрат, результатов и эффектов, т. е. осуществление их в течение всего периода реализации проекта, а не в какой-то один фиксированный момент времени.
  Этот аспект фактора времени учитывается в расчетах путем дисконтирования денежных потоков.

Необходимость использования сложных процентов

При принятии решения об инвестировании денег необходимо учитывать различные факторы (инфляция, риск и возможность альтернативного использования денег). Таким образом, одна и та же денежная сумма имеет различную ценность во времени по отношению к текущему моменту.

Методика начисления сложных процентов используется при необходимости решить вопрос о размере денежной суммы, которая окажется на счете в банке через t лет, если первоначальный вклад составил Р денежных единиц при ставке процента, равной г , для того чтобы найти будущую величину вклада. F(t) = P*(1+r)t ,
где F(t) - будущая ценность денег в период времени t ;
Р - текущая ценность денег (первоначальная ценность);
r - ставка процента;
t - продолжительность временного периода.
Более актуальным является обратное действие - определить, какую сумму в размере Р денежных единиц необходимо положить на счет сегодня, чтобы через f лет с учетом сложных процентов ее величина составила F(t) единиц:

Такое действие (сведение будущих денежных сумм к насто­ящему моменту времени) называется дисконтированием .
Множители (1 t г)" и 1/(1 + г)" в предыдущих формулах называются соответственно коэффициентами начисления сложных процентов и дисконтирования. Разработаны специальные таблицы, позволяющие находить значения этих коэффициентов при известной процентной ставке и продолжительности временного периода.
Если коэффициент дисконтирования года f при ставке процента, равной г, обозначить через d(t, r) , то формула дисконтирования будет выглядеть так:

Пусть по некоторому проекту поток денежных средств по периодам (годам) будет иметь вид, представленный во второй колонке табл. 1, Необходимо вычислить общую суммарную стоимость потока за весь период, если известна процентная ставка, равная r.

Таблица 1. Расчет попериодных значений денежного потока

Из формулы суммарная текущая стоимость потока по дан­ному проекту составит:
Р = F(1)d(1) + F(2)d(2) + F(3)d(3) + F(4)d(4) + F(5)d(5).
Если величины будущих ежегодных поступлений равны между собой, т. е. F(1) = F(2) = F(3) = F(4) = F(5) = А, выражение можно записать:
P = A.
Равные денежные суммы, получаемые и выплачиваемые через одинаковые промежутки времени, называются аннуитетом . Формула расчета текущей стоимости с использованием аннуитета имеет вид:

Множитель при аннуитете называется коэффициентом аннуитета , он рассчитывается как сумма коэффициентов дисконтирования за соответствующий период:
d(t,r) = d(1,r) + d(2,r) + ... + d(t,r).
Теория ценности денег во времени используется при построении дисконтированных критериев ценности проекта. Совокупность описываемых критериев позволяет отобрать проекты для дальнейшего рассмотрения, проанализировать проектные альтернативы, оценить проект с точки зрения инвестора и т. д. Принятие соответствующего решения базируется на сравнении полученного расчетного результата с так называемой точкой отсчета, т. е. ценность проекта измеряется увеличением количества выгод минус изменение объема произведенных затрат в результате реализации проекта.
В условиях нормальной конкуренции критерием эффективности инвестиционного проекта является уровень прибыли, полученной на вложенный капитал. При этом под прибылью понимается не просто прирост капитала, а такой темп его роста, который полностью компенсирует общее изменение покупательной способности денег в течение рассматриваемого периода, обеспечивает минимальный уровень доходности и покрывает риск инвестора, связанный с осуществлением проекта. Другими словами, проблема оценки привлекательности, эффективности инвестиционного проекта состоит в определении уровня доходности.

Преобразование экономических ресурсов в действующие факторы производства обладает определенной продолжительностью во времени, т.е. между вовлечением ресурсов в производство и их непосредственным участием в качестве фактора производственного процесса проходит определенное время, необходимое для преобразования исходного ресурса в фактор.

Промежуток времени между вложением средств, вовлечением ресурсов и их превращением в действующие факторы производства может существенно различаться для разных факторов производства и стадий воспроизводства.

Одна из базовых концепций экономики предприятия состоит в том, что стоимость определенной суммы денег - это функция от времени возникновения денежных доходов или расходов. Рубль, полученный сегодня, стоит больше рубля, который будет получен в будущем. То есть финансовые ресурсы, материальную основу которых составляют деньги, имеют временную ценность, которая может рассматриваться в нескольких аспектах.

Аспекты учета фактора времени:

Разновременность затрат и результатов;

Динамика цен (инфляция);

Задержка платежей (промежуток времени между поставкой продукции и ее оплатой);

Конъюнктура рынка;

Износ оборудования, технологий, продукции;

Условия формирования и использования производственных запасов;

Сроки строительства (строительный лаг).

Учет инфляции и амортизации при оценке эффективности инвестиций.

Амортизационные отчисления при расчетах не включаются в денежные потоки, поскольку не увеличивают потребность в финансировании.

Инфляция: (1) расчет в постоянных ценах без ее учета; (2) в текущих ценах с ее учетом.

(1) Плюсы:

Быстрота и легкость подготовки данных

Позволяет выявлять внутренние тенденции развития проекта без учета внешних обстоятельств;

Расчет проводится в сопоставимых ценах на момент начала реализации проекта;

Отсутствует возможность контроля за ходом реализации проекта с точки зрения поступающих денежных потоков;

Расчет в постоянных ценах используется наиболее часто

(2) Плюсы: - возможность контроля будущих денежных потоков

Минусы: - низкая точность прогноза инфляционного ожидания

22. Дисконтированные методы оценки инвестиционных проектов

Н
аращение - определение денежной суммы в будущем, исходя из заданной суммы сейчас. Экономический смысл операции наращения состоит в определении величины той суммы, которой будет или желает располагать инвестор по окончании этой операции. Здесь идет движение денежного потока от настоящего к будущему.

Дисконтирование - это приведение будущих денег к текущему моменту времени

Именно дисконтирование позволяет учитывать в стоимостных расчетах фактор времени, поскольку дает сегодняшнюю оценку суммы, которая будет получена в будущем.

23.Выбор и обоснование ставки дисконтирования.

Ставка дисконтирования – это стоимость привлекаемого капитала, т.е ставка ожидаемого дохода, при котором владелец капитала согласен его инвестировать.

Для банка или другого кредитного учреждения ставка дисконтирования – это ставка процента по кредиту.

Для собственника ставка дисконтирования – это ставка ожидаемого дохода, на которую

оказывают влияние доходность альтернативных вложений, среднерыночная доходность

для аналогичных проектов, доходность финансовых вложений.

Менеджмент предприятия определяет ставку дисконтирования исходя из средневзвешенной стоимости ресурсов, привлекаемых для инвестирования проекта.