В условиях рыночной экономики любое взаимодействие лиц, фирм и предприятий с целью получения прибыли называется сделкой. При кредитных сделках прибыль представляет собой величину дохода от предоставления денежных средств в долг, что на практике реализуется за счет начисления процентов (процентной ставки – i). Проценты зависят от величины предоставляемой суммы, срока ссуды, условий начисления и т. д.
Важнейшее место в финансовых сделках занимает фактор времени (t). С временным фактором связан принцип неравноценности и неэквивалентности вложений. Для того чтобы определить изменения, происходящие с исходной суммой денежных средств (P), необходимо рассчитать величину дохода от предоставления денег в ссуду, вложения их в виде вклада (депозита), инвестированием их в ценные бумаги и т. д.
Процесс увеличения суммы денег в связи с начислением процентов (i) называют наращением, или ростом первоначальной суммы (P). Таким образом, изменение первоначальной стоимости под влиянием двух факторов: процентной ставки и времени называется наращенной стоимостью (S).
Наращенная стоимость может определяться по схеме простых и сложных процентов. Простые проценты используются в случае, когда наращенная сумма определяется по отношению к неизменной базе, то есть начисленные проценты погашаются (выплачиваются) сразу после начисления (таким образом, первоначальная сумма не меняется); в случае, когда исходная сумма (первоначальная) меняется во временном интервале, имеют дело со сложными процентами.
При начислении простых процентов наращенная сумма определяется по формуле
S = P (1 + i t), (1)
где S – наращенная сумма (стоимость), руб.; P – первоначальная сумма (стоимость), руб.; i – процентная ставка, выраженная в коэффициенте; t – период начисления процентов.
S = 10 000 (1+ 0,13 · 1) = 11 300, руб. (сумма погашения кредита);
ΔР = 11 300 – 10 000 = 1 300, руб. (сумма начисленных процентов).
Определить сумму погашения долга при условии ежегодной выплаты процентов, если банком выдана ссуда в сумме 50 000 руб. на 2 года, при ставке – 16 % годовых.
S = 50 000 (1+ 0,16 · 2) = 66 000, руб.
Таким образом, начисление простых процентов осуществляется в случае, когда начисленные проценты не накапливаются на сумму основного долга, а периодически выплачиваются, например, раз в год, полугодие, в квартал, в месяц и т. д., что определяется условиями кредитного договора. Также на практике встречаются случаи, когда расчеты производятся за более короткие периоды, в частности на однодневной основе.
В случае, когда срок ссуды (вклада и т. д.) менее одного года, в расчетах необходимо скорректировать заданную процентную ставку в зависимости от временного интервала. Например, можно представить период начисления процентов (t) в виде отношения , где q – число дней (месяцев, кварталов, полугодий и т. д.) ссуды; k – число дней (месяцев, кварталов, полугодий и т. д.) в году.
Таким образом, формула (1) изменяется и имеет следующий вид:
S = P (1 + i ). (2)
Банк принимает вклады на срочный депозит на срок 3 месяца под 11 % годовых. Рассчитать доход клиента при вложении 100 000 руб. на указанный срок.
S = 100 000 (1+ 0,11 · ) = 102 749,9, руб.;
ΔР = 102 749,9 – 100 000 = 2 749,9, руб.
В зависимости от количества дней в году возможны различные варианты расчетов. В случае, когда за базу измерения времени берут год, условно состоящий из 360 дней (12 месяцев по 30 дней), исчисляют обыкновенные, или коммерческие проценты. Когда за базу берут действительное число дней в году (365 или 366 – в високосном году), говорят о точных процентах.
При определении числа дней пользования ссудой также применяется два подхода: точный и обыкновенный. В первом случае подсчитывается фактическое число дней между двумя датами, во втором – месяц принимается равным 30 дням. Как в первом, так и во втором случае, день выдачи и день погашения считаются за один день. Также существуют случаи, когда в исчислении применяется количество расчетных или рабочих банковских дней, число которых в месяц составляет 24 дня.
Таким образом, выделяют четыре варианта расчета:
1) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;
2) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды;
3) точные проценты с приближенным числом дней ссуды;
4) точные проценты с банковским числом рабочих дней.
При этом необходимо учесть, что на практике день выдачи и день погашения ссуды (депозита) принимают за один день.
Ссуда выдана в размере 20 000 руб. на срок с 10.01.06 до 15.06.06 под 14 % годовых. Определить сумму погашения ссуды.
1. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды:
156=21+28+31+30+31+15;
S = 20 000 (1+0,14 · ) =21 213,3, руб.
2. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды:
S = 20 000 (1+0,14 · ) =21 205,6, руб.
3. Точные проценты с приближенным числом дней ссуды:
S = 20 000 (1+0,14 · ) =21 189,0, руб.
4. Точные проценты с банковским числом рабочих дней:
S = 20 000 (1+0,14 · ) =21 516,7, руб.
Данные для расчета количества дней в периоде представлены в прил. 1, 2.
Как сказано выше, кроме начисления простых процентов применяется сложное начисление, при котором проценты начисляются несколько раз за период и не выплачиваются, а накапливаются на сумму основного долга. Этот механизм особенно эффективен при среднесрочных и долгосрочных кредитах.
После первого года (периода) наращенная сумма определяется по формуле (1), где i будет являться годовой ставкой сложных процентов. После двух лет (периодов) наращенная сумма S 2 составит:
S 2 = S 1 (1 + it) = P (1 + it) · (1 + it) = P (1 + it) 2 .
Таким образом, при начислении сложных процентов (после n лет (периодов) наращения) наращенная сумма определяется по формуле
S = P (1 + i t) n , (3)
где i – ставка сложных процентов, выраженная в коэффициенте; n – число начислений сложных процентов за весь период.
Коэффициент наращения в данном случае рассчитывается по формуле
Кн = (1 + i t) n , (4)
где Кн – коэффициент наращения первоначальной стоимости, ед.
Вкладчик имеет возможность поместить денежные средства в размере 75 000 руб. на депозит в коммерческий банк на 3 года под 10 % годовых.
Определить сумму начисленных процентов к концу срока вклада, при начислении сложных процентов.
S = 75 000 (1+ 0,1 · 1) 3 = 99 825, руб.
ΔР = 24 825, руб.
Таким образом, коэффициент наращения составит:
Кн = (1+ 0,1 · 1) 3 = 1,331
Следовательно, коэффициент наращения показывает, во сколько раз увеличилась первоначальная сумма при заданных условиях.
Доля расчетов с использованием сложных процентов в финансовой практике достаточно велика. Расчеты по правилу сложных процентов часто называют начисление процентов на проценты, а процедуру присоединения начисленных процентов – их реинвестированием или капитализацией.
Рис. 1. Динамика увеличения денежных средств при начислении простых и сложных процентов
Из-за постоянного роста базы вследствие реинвестирования процентов рост первоначальной суммы денег осуществляется с ускорением, что наглядно представлено на рис. 1.
В финансовой практике обычно проценты начисляются несколько раз в году. Если проценты начисляются и присоединяются чаще (m раз в год), то имеет место m-кратное начисление процентов. В такой ситуации в условиях финансовой сделки не оговаривают ставку за период, поэтому в финансовых договорах фиксируется годовая ставка процентов i, на основе которой исчисляют процентную ставку за период (). При этом годовую ставку называют номинальной, она служит основой для определения той ставки, по которой начисляются проценты в каждом периоде, а фактически применяемую в этом случае ставку (() mn) – эффективной, которая характеризует полный эффект (доход) операции с учетом внутригодовой капитализации.
Наращенная сумма по схеме эффективных сложных процентов определяется по формуле
S = P (1+ ) mn , (5)
где i – годовая номинальная ставка, %; (1+ ) mn – коэффициент наращения эффективной ставки; m – число случаев начисления процентов за год; mn – число случаев начисления процентов за период.
S = 20 000 (1+ ) 4·1 = 22 950, руб.
Следует отметить, что при периоде, равным 1 году, число случаев начисления процентов за год будет соответствовать числу случаев начисления процентов за весь период. Если, период составляет более 1 года, тогда n (см. формулу (3)) – будет соответствовать этому значению.
S = 20 000 (1+ ) 4·3 = 31 279, 1 , руб.
Начисление сложных процентов также применяется не только в случаях исчисления возросшей на проценты суммы задолженности, но и при неоднократном учете ценных бумаг, определении арендной платы при лизинговом обслуживании, определении изменения стоимости денег под влиянием инфляции и т. д.
Как говорилось выше, ставку, которая измеряет относительный доход, полученный в целом за период, называют эффективной. Вычисление эффективной процентной ставки применяется для определения реальной доходности финансовых операций. Эта доходность определяется соответствующей эффективной процентной ставкой.
I эф = (1+ ) mn – 1 . (6)
Кредитная организация начисляет проценты на срочный вклад, исходя из номинальной ставки 10 % годовых. Определить эффективную ставку при ежедневном начислении сложных процентов.
i = (1+ ) 365 – 1 = 0,115156, т. е. 11 %.
Реальный доход вкладчика на 1 руб. вложенных средств составит не 10 коп. (из условия), а 11 коп. Таким образом, эффективная процентная ставка по депозиту выше номинальной.
Банк в конце года выплачивает по вкладам 10% годовых. Какова реальная доходность вкладов при начислении процентов: а) ежеквартально; б) по полугодиям.
а) i = (1+ ) 4 – 1 = 0,1038, т. е. 10,38 %;
б) i = (1+ ) 2 – 1 = 0,1025, т. е. 10,25 %.
Расчет показывает, что разница между ставками незначительна, однако начисление 10 % годовых ежеквартально выгодней для вкладчика.
Расчет эффективной процентной ставки в финансовой практике позволяет субъектам финансовых отношений ориентироваться в предложениях различных банков и выбрать наиболее приемлемый вариант вложения средств.
В кредитных соглашениях иногда предусматривается изменение во времени процентной ставки. Это вызвано изменением контрактных условий, предоставлением льгот, предъявлением штрафных санкций, а также изменением общих условий совершаемых сделок, в частности, изменение процентной ставки во времени (как правило, в сторону увеличения) связано с предотвращением банковских рисков, возможных в результате изменения экономической ситуации в стране, роста цен, обесценения национальной валюты и т. д.
Расчет наращенной суммы при изменении процентной ставки во времени может осуществляться как начислением простых процентов, так и сложных. Схема начисления процентов указывается в финансовом соглашении и зависит от срока, суммы и условий операции.
Пусть процентная ставка меняется по годам. Первые n 1 лет она будет равна i 1 , n 2 – i 2 и т. д. При начислении на первоначальную сумму простых процентов необходимо сложить процентные ставки i 1 , i 2 , i n , а при сложных – найти их произведение.
При начислении простых процентов применяется формула
S = P (1+i 1 t 1 + i 2 t 2 + i 3 t 3 + i n t n) , (7)
где i n – ставка простых процентов; t n – продолжительность периода начисления.
В первый год на сумму 10 000 руб. начисляются 10 % годовых, во второй – 10,5 % годовых, в третий – 11 % годовых. Определить сумму погашения, если проценты выплачиваются ежегодно.
S = 10 000 (1+0,10 · 1 +0,105 · 1 + 0,11 · 1)=13 150, руб.;
ΔР = 3 150, руб.
При начислении сложных процентов применяется формула
S = P(1+i 1 t 1)·(1+ i 2 t 2)·(1+ i 3 t 3)·(1+ i n t n) (8)
где i n – ставка сложных процентов; t n – продолжительность периода ее начисления.
В первый год на сумму 10 000 руб. начисляются 10 % годовых, во второй – 10,5 % годовых, в третий – 11 % годовых. Определить сумму погашения, если проценты капитализируются.
S = 10 000 (1+0,10 · 1)·(1 +0,105 · 1)·(1 + 0,11 · 1)= 13 492, 05, руб.
Приведенные примеры подтверждают тот факт, что начисление простых процентов связано с определением наращенной суммы по отношению к неизменной базе, т. е. каждый год (период) проценты начисляются на одну и ту же первоначальную стоимость. Если рассмотреть пример 10, то в этом случае наращенная стоимость составит:
– за первый год: S 1 = 10 000 (1+0,10 · 1) = 11 000, руб.;
ΔР 1 = 1 000, руб.;
– за второй год: S 2 = 10 000 (1+0,105 · 1) = 11 050, руб.;
ΔР 2 = 1 050, руб.;
– за третий год: S 3 = 10 000 (1+0,11 · 1) = 11 100, руб.;
ΔР 3 = 1 100, руб.
Таким образом, сумма процентов за 3 года составит:
ΔР = 1 000+1 050+1 100 = 3 150, руб. (см. пример 10).
В случае начисления сложных процентов, исходная сумма меняется после каждого начисления, так как проценты не выплачиваются, а накапливаются на основную сумму, т. е. происходит начисление процентов на проценты. Рассмотрим пример 11:
– в первом году: S 1 = 10 000 (1+0,10 · 1) = 11 000, руб.;
– во втором году: S 2 = 11000 (1+0,105 · 1) = 12 100, руб.;
– в третьем году: S 3 = 12100 (1+0,11 · 1) = 13 431, руб.
Таким образом, сумма процентов за 3 года составит: i 3 = 3 431, руб. (см. пример 10).
При разработке условий контрактов или их анализе иногда возникает необходимость в решении обратных задач – определение срока операции или уровня процентной ставки.
Формулы для расчета продолжительности ссуды в годах, днях и т. д. можно рассчитать, преобразуя формулы (1) и (5).
Срок ссуды (вклада):
t = · 365 . (9)
Определить на какой срок вкладчику поместить 10 000 руб. на депозит при начислении простых процентов по ставке 10 % годовых, чтобы получить 12 000 руб.
t = (
) · 365 = 730 дней (2 года).
Клиент имеет возможность вложить в банк 50 000 руб. на полгода. Определить процентную ставку, обеспечивающую доход клиента в сумме 2 000 руб.
t = (
) = 0,08 = 8 % годовых
Аналогично определяется необходимый срок окончания финансовой операции и ее протяженность, либо размер требуемой процентной ставки при начислении сложных процентов.
Для упрощения расчетов значения коэффициента (множитель) наращения представлены в прил. 3.
1.5. Финансовая рента. Свойства коэффициентов наращения и дисконтирования ренты.
Определение. Поток платежей, все члены которого положительны, а временные интервалы между платежами одинаковы, называется финансовой рентой.
Основные параметры ренты:
член ренты - сумма отдельного платежа;
период ренты - временной интервал между двумя соседними платежами;
срок ренты - время от начала первого периода ренты до конца последнего;
процентная ставка ренты - сложная процентная ставка, используемая для наращения и дисконтирования членов ренты;
m - число начислений процентов в году на члены ренты;
p - число платежей в году.
Если члены ренты выплачиваются раз в год, то рента называется годовой .
Если члены ренты выплачиваются p раз в году (p > 1), то рента называется p - срочной .
Если платежи поступают столь часто, что можно считать , то ренту называютнепрерывной .
Рента называется постоянной , если члены ренты одинаковы и не изменяются во времени.
Рента называется переменной , если члены ренты изменяются во времени в соответствии с некоторым временным законом.
Если платежи производятся в конце каждого периода ренты, то рента называется обычной или постнумерандо .
Рента с платежами в начале каждого периода называется рентой пренумерандо .
Рассмотрим расчет
современной стоимости и наращенной
суммы постоянной обычной
(постнумерандо) p
-
срочной
ренты. Ежегодно сумма R
вносится равными долями p
раз в году на банковский счет в течение
n
лет.
Тогда имеем поток из np
платежей величиной
каждый в моменты
.
Примем за единицу измерения времени 1
год. Пустьi
- годовая эффективная процентная ставка
начисления сложных процентов на
поступающие платежи. Согласно определению
современной стоимости потока платежей
(формула (4.2)), получаем
.
Вычисляя сумму np
членов геометрической прогрессии,
знаменатель которой
,
получим:
(5.1)
Современная стоимость постоянной обычной p - n лет. Отсюда современная стоимость годовой обычной ренты (p = 1) при начислении процентов на члены ренты 1 раз в году:
.
(5.2)
Используя
соотношения эквивалентности для
эффективной процентной ставки
и
(параграф 1.1), получим современную
стоимость обычнойp
-
срочной
ренты при начислении на члены ренты
сложных процентов m
раз в году по номинальной процентной
ставке i
(m
)
и непрерывном начислении процентов
при постоянной интенсивности процентов
δ в год:
(5.3)
.
(5.4)
Формулы для наращенной суммы ренты можно получить непосредственно по определению согласно формуле (4.3). Например, для постоянной обычной p - срочной ренты при начислении процентов на члены ренты 1 раз в году в течение n лет получаем:
. (5.5)
S
= A F
(T
) = A
(1
+ i
) n
=
(5.6)
Для других видов
обычной ренты из (5.3) и (5.4), используя
множители наращения
и
соответственно, получим:
(5.7)
(5.8)
В частности, при m = p (период начисления процентов равен периоду ренты) из (5.3) и (5.7) получаем
(5.9)
(5.10)
Если единицей
измерения времени является 1 год, а R
- это выплата за год (единицу времени),
то множитель в формулах современной
стоимости ренты, равный
,
называетсякоэффициентом
дисконтирования ренты
.
Множитель в формулах наращенной суммы
ренты, равный
,
называетсякоэффициентом
наращения ренты
.
Из (5.1)-(5.10) можно получить коэффициенты
наращения и дисконтирования всех
рассмотренных видов обычной ренты.
Рассмотрим некоторые соотношения между
этими коэффициентами.
Согласно (5.1) и (5.5), коэффициенты дисконтирования и наращения обычной p – n лет равны соответственно
и
.
и
-
это соответственно современная стоимость
и наращенная сумма постоянной обычнойp –
срочной
ренты с ежегодной выплатой 1 д.е. равными
долями p
раз
в году в размере
в моменты времени
с начислением на члены ренты процентов
1 раз в году. Следовательно,
и
связаны
соотношением (4.6):
=
(1 + i
) n
.
Аналогичный смысл имеют коэффициенты дисконтирования и наращения других рассмотренных видов обычной ренты. Для этих рент имеем соотношения:
- годовая рента
с начислением процентов 1 раз в год;
- p
-
m
раз в год;
- p
-
срочная
рента с непрерывным начислением
процентов.
Коэффициенты дисконтирования и наращения годовой ренты при начислении процентов 1 раз в год
и
затабулированы и
приводятся в приложениях финансовой
литературы. Если применяется p
–
срочная
рента с начислением процентов p
раз в год (m
= p
) по годовой
номинальной ставке i
(p
) ,
то за единицу измерения времени можно
принять
часть года. Тогда
- выплата за единицу времени (постнумерандо),
- процентная ставка за 1 единицу времени,
срок ренты -np
единиц времени. Коэффициенты дисконтирования
и наращения такой ренты равны соответственно
и
.
Из формул (5.9), (5.10) имеем
,
,
что позволяет для
этой ренты использовать те же таблицы
коэффициентов. Заметим, что если единицей
измерения времени является 1 год, то
коэффициенты дисконтирования и наращения
этой ренты определяются как
=
и
=
и рассчитываются по формулам, полученным
из (5.9), (5.10):
,
.
=
и
=
.
(5.11)
Пример 5.1. В конце каждого месяца на сберегательный счет инвестируется 200 д.е. На поступающие платежи ежемесячно начисляют сложные проценты по годовой ставке 12 %. Какова величина вклада через 2 года? Какую сумму мог бы разместить инвестор на депозитный счет для получения такой же величины вклада через 2 года?
Взносы на
сберегательный счет поступают в виде
обычной p -
срочной
ренты с начислением процентов p
раз в году
в течение 2 лет. Здесь n
=
2, p
= 12,
= 0,12. Если за единицу измерения времени
принять 1 месяц, то
= 200 д.е. - выплата за единицу времени,
=
= 0,01 - процентная ставка за 1 единицу
времени, срок рентыnp
= 24 единицы времени. По таблице коэффициентов
наращения дискретных рент находим
s
24, 0.01 = 26,97346485.
Тогда наращенная сумма вклада через
два года
=
200 s
24,
0.01 = 5394,69
(д.е.).
Сумма, которую мог
бы разместить инвестор на депозитный
счет для получения такой же величины
вклада через 2 года - это современная
стоимость ренты
=
200a
24,0.01
= 4248,68 (д.е.), где коэффициент дисконтирования
a
24,0.01
= 21,2433873 определен по таблице коэффициентов.
Так как
=
4248,68(1+0,01) 24
= 5394,69 (д.е.), то размещение суммы 4248,68
д.е. на депозитный счет для начисления
на нее ежемесячно сложных процентов по
годовой ставке 12 % позволит инвестору
через два года получить ту же сумму
вклада.
Замечание.
Рассчитать коэффициенты дисконтирования
и наращения
,
пользуясь приведенными формулами, и
проверить соотношения (5.11). Объяснить,
почему
и
можно найти в таблицах коэффициентов,
а
и
- нет. На что может повлиять выбор единицы
измерения времени?
Рассмотрим ренту
пренумерандо
.
Связь между коэффициентами дисконтирования
и наращения рент пренумерандо
и постнумерандо
следует из их определения. Срок
дисконтирования каждого платежа ренты
пренумерандо уменьшается, а срок
наращения увеличивается на один период
ренты по сравнению с обычной рентой.
По - прежнему единицей измерения времени
считаем 1 год. Если
и
- коэффициенты дисконтирования и
наращенияp
-
срочной
ренты пренумерандо (платежи поступают
в начале каждого периода длиной
)
при начислении на члены ренты процентов
1 раз в год, то справедливы соотношения:
=
=
= (1 + i
) n
.
Отсюда при p = 1 получаем соотношения для годовых рент:
=
=
= (1 + i
) n
.
При непрерывном начислении процентов для p - срочной ренты имеем соотношения:
=
.
Рассмотрим
непрерывную
ренту. Коэффициенты дисконтирования и
наращения постоянной непрерывной ренты
можно получить из формул для p
-
срочной
ренты при
или по определению (формулы (4.9), (4.10)) для
непрерывного равномерно выплачиваемого
потока платежей с постоянной годовой
интенсивностьюf
(t
)
= 1.
Например, для постоянной непрерывной
ренты при непрерывном начислении
процентов по постоянной силе роста
получаем:
,
где
-
коэффициент дисконтирования обычнойp -
срочной
ренты при непрерывном начислении
процентов. Заметим, что так как
,
где
- коэффициент дисконтированияp
-
срочной
ренты пренумерандо при непрерывном
начислении процентов, то
.
Действительно, при непрерывно поступающих платежах различие между рентами пренумерандо и постнумерандо исчезает.
Коэффициент дисконтирования постоянной непрерывной ренты при начислении процентов 1 раз в год получим по определению:
Коэффициенты наращения непрерывных рент можно найти из равенств вида (4.6):
=
,
=
.
Соотношения между
коэффициентами дисконтирования
рассмотренных трех видов рент - обычной,
пренумерандо и непрерывной - можно
установить из следующих соображений.
Так как
,
гдеi
(p
)
- эквивалентная годовая номинальная
процентная ставка, то
С другой стороны,
.
Следовательно
, (5.12)
где
,
-
коэффициенты дисконтирования обычной
годовой ренты с начислением процентов
1 раз в год и постоянной непрерывной
ренты при непрерывном начислении
процентов. Равенства (5.12) можно продолжить
для ренты пренумерандо, если учесть
соотношения коэффициентов дисконтирования
обеих рент:
и
.
=
=
.
(5.13)
где
- эквивалентная учетная ставка. Из
(5.12), (5.13) получаем
где
- эквивалентная номинальная учетная
ставка. Каждое выражение в этом равенстве
- современная стоимость процентов,
выплачиваемых по займу 1 д.е. на протяженииn
лет в соответствии с различными способами
выплаты процентов.
Аналогичные соотношения можно получить и для коэффициентов наращения рент.
Если полагают, что срок ренты n = ∞, то ренту называют вечной . Наращенная сумма вечной ренты бесконечна. Однако современную величину такой ренты можно найти. Для обычной вечной p - срочной ренты с начислением процентов 1 раз в год получаем при n → ∞:
Для такой же ренты пренумерандо
Кроме того,
Таким образом,
,
,
.
(5.15)
Если вечная рента является годовой (p = 1), то имеем
,
,
.
(5.16)
Если начало ренты, т.е. начало ее первого периода, переносится в будущее на t единиц времени относительно текущего момента t = 0, то такую ренту называют отсроченной . Современная стоимость отсроченной ренты A t определяется следующим образом. Согласно определению современной стоимости потока платежей,
где
,
,
- дисконтные множителиk
- го платежа на временных отрезках ,
[t
,
t
k
],
соответственно. Так как
,
тоA
-стоимость ренты, рассчитанная на момент
начала ее первого периода, т.е. на момент
начала неотсроченной ренты. Следовательно,
A
- это современная стоимость неотсроченной
ренты. Таким образом, современная
стоимость отсроченной ренты определяется
путем дисконтирования по процентной
ставке ренты в течение времени t
современной стоимости A
неотсроченной ренты:
,
(5.17)
Пример 5.2. По контракту произведенная продукция стоимостью 2 млн. д.е. оплачивается в рассрочку в конце каждого квартала в течение пяти лет с начислением сложных процентов раз в год по ставке 10% годовых. Найти величину отдельного взноса, если начало оплаты продукции перенесено на полгода после подписания контракта.
Если начало отсчета
времени t
= 0 – это момент подписания контракта,
а единица измерения времени – 1 год, то
здесь n
= 5, p
= 4, i
= 0,1, t
= 0,5. Согласно формуле (5.17), стоимость
потока платежей по оплате продукции на
момент подписания контракта равна
=
,
гдеA
t
= 2 млн. д.е., A
- современная стоимость неотсроченной
обычной p -
срочной
ренты с начислением процентов 1 раз в
году в течение n
лет. Согласно (5.1),
.
Из формул дляA
t
и A
находим
величину отдельного взноса
= 133432,20 д.е. против
133432,20
= 127222,61 д.е., если бы начало оплаты продукции
не откладывалось.
Замечание.
Из определения срока ренты следует, что
если
-
период ренты, то срок рентыn
(лет) является числом, кратным
,
т.е.
,
гдеm
– целое положительное число. Известно,
что всякое положительное рациональное
число можно представить в виде
,
гдеm
,
p
– целые положительные числа, а всякое
иррациональное число можно с любой
степенью точности заменить рациональным
числом
.
Это означает, что если срок рентыn
не является целым, то всегда можно (точно
или с любой степенью точности) представить
n
в виде целого числа периодов некоторой
p –
срочной
ренты и использовать связь коэффициентов
дисконтирования и наращения рент:
и
.
Если
выбирается в качестве единицы измерения
времени, то используются соотношения:
=
и
=
.
Таким образом, все полученные формулы
для коэффициентов дисконтирования и
наращения рент справедливы для
,
т.е. для всех неотрицательных значенийn
,
не только целых.
Свойства коэффициентов наращения и дисконтирования ренты.
Рассмотрим зависимость коэффициентов дисконтирования и наращения ренты от срока ренты и процентной ставки. Поскольку характер зависимости не должен зависеть от числа платежей в году, рассмотрим годовую обычную ренту с начислением процентов 1 раз в год.
1) i = 0.
Имеем
,
.
Ситуацию можно рассматривать как беспроцентный долг, выданный в сумме n и возвращаемый равными долями в течение n лет.
2) Установим
зависимость от i
коэффициента
наращения ренты
.
Очевидно,
-
возрастающая функцияi
,
что следует из свойств наращенной суммы
разового платежа. Действительно, так
как
и
,
то
- возрастающая выпуклая функция аргументаi
(рис.
1.5.1).
3) Установим
зависимость от i
коэффициента
дисконтирования ренты
.
.
Очевидно,
-
убывающая функцияi
,
что следует из свойств современной
стоимости разового платежа. Действительно,
так как
и
,
то
- убывающая выпуклая функция аргументаi
(рис.
1.5.2).
4) Установим
зависимость от n
коэффициента наращения ренты
.
,
где
.
Т
s
n,i
ак
как
и
,
то
-
возрастающая выпуклая функция аргументаn
(рис.
1.5.3).
5) Установим
зависимость от n
коэффициента дисконтирования ренты
.
,
где
.
В случае когда требуется оценить интегральный эффект какой-либо операции по наращению со сложной внутренней структурой (изменение значения ставок, периодов начисления процентов и прочее) удобно использовать понятие эффективной ставки. Принято, что эффективная ставка j является сложной.
Так, например, определим эффективную ставку для операции представляющей собой случай неоднократного начисления процентов за период, на котором определена ставка начисления (3.5). Приравняв выражения для получения результатов наращения для рассматриваемой операции (3.5) и выражение для наращенной суммы для сложных процентов (3.1), полагая фигурирующую в (3.1) ставку эффективной j,
S = P ´ (1 + j ) n = P ´ (1 + i c /m ) m ´ n ,
т.е. приводящей к такому же результату наращения. Ее величина определяется для данного примера выражением
j = (1 + i c /m ) m ´ n – 1.
Следует отметить, что данное выражение для значения эффективной ставки наращения сложных процентов справедливо только для рассмотренного случая (m раз начисления сложных процентов на периоде), а в каждом ином случае, при определении эффективной ставки для другой финансовой операции выражение для ее определения будет другим.
В общем случае, для произвольной финансовой операции выражение для определения эффективной ставки начисления сложных процентов имеет вид
j = (S /P ) 1/n – 1, (3.9)
P – исходная сумма рассматриваемой операции наращения;
S – результирующая сумма рассматриваемой операции наращения, величина n ´ T определяет срок рассматриваемой операции наращения;
n – количество периодов T рассматриваемой операции наращения;
T – период на котором определена эффективная ставка j .
Выражением (3.9) удобно пользоваться для общей оценки эффективности различного рода финансовых операций, для которых подробности и детали их проведения остаются недоступны, то есть оценка в режиме «черного ящика». Формула (3.9) требует только входных данных (P ) и результирующих данных (S ) при этом определяется основной параметр оценки финансовых операций – эффективная ставка, характеризующая доходность данной операции.
ПРИМЕР 1. Определить эффективную ставку работы предприятия вложившего в бизнес 150 000 руб. и получившее отдачу от вложения в размере 250 000 руб. через два года.
Решение : Исходная сумма средств Р = 150 000 руб., наращенная сумма S = 250 000 руб. срок n = 2 года. Воспользуемся выражением (3.9) j = (250 000/150 000) 1/2 – 1 = 1,29 – 1 = 0,29 (j = 29%).
ПРИМЕР 2. Определить эффективную ставку для пятилетнего депозита, на втором году которого простая ставка 10% увеличивается в два раза.
Решение : Первоначальную сумму обозначим как P . Наращенная сумма за пять лет S = P + I 1 + I 2 = P (1 + 0,1 ´ 2 + 0,2 ´ 3). Тогда j = (P (1 + 0,1 ´ 2 + 0,2 ´ 3)/P ) 1/5 – 1 = 1,0985 – 1 = 0,0985 (j = 8,95%).
ПРИМЕР 3. Определить эффективную ставку операции покупки векселя за четыре года до погашения, с простой учетной ставкой 10%.
Решение: Цена покупки в данном случае является исходной сумме P = S (1 – 0,1 ´ 4), S – номинал векселя – наращенная сумма. Тогда, согласно (3.9), эффективная ставка будет равна j = (S /S ´ (1 – 0,1 ´ 4)) 1/4 – 1 = 0,1362 (j = 13,62%).
Упражнения
1. Найти величину депозита в 14 000 руб. при ставке сложных процентов i c = 10% за 6 лет? Овет:24 801,85 руб.
2. При какой ставке сложных процентов i c деньги удваиваются через 12 лет? Овет: 5,94%.
3. Чему равно значение сложной процентной ставки, если 10 млн руб. возросли до 25 млн руб. за 7 лет? Овет: 25,84%.
4. При заданной ставке сложных процентов 10 млн руб. прирастают до 15 млн руб. за 10 лет. Какой будет наращенная сумма в конце 6 года? Овет:12754245,01 руб.
5. Облигация стоит 1 875 руб. и по ней выплачивается 2 500 руб. через 8 лет. Какая ставка сложных процентов обеспечит этот рост? Овет: 3,66%.
6. Найти годовую эффективную процентную ставку (норму), соответствующую ставке1,5%, при ежемесячной капитализации процентов. Овет:1,51%.
7. Сумма денег инвестируется при ставке i c = 10%на один год с квартальной капитализацией. Какая ставка простых процентов накопила бы такую же сумму в конце первого года? Овет: 10,38%.
8. 10 млн руб. инвестируются на 5 лет при норме i c = 5% с ежегодным увеличением процентной ставки на 0,5%. Какая эффективная ставка j накопит равную сумму за то же самое время? Овет:5,99%.
9. Клиент поместил на депозитный счет 1 000 000 руб. на 3 года при ставке сложных процентов 1,7% годовых. Определить доход от капитализации процентов к концу срока. Овет:870 руб.
10. Предприятие оформляет кредитный договор с банком на сумму 3 000 000 руб. на срок с 5.01.2003 г. до 20.03.2005 г. при ставке сложных процентов 15% годовых. Смешанным способом рассчитать проценты за пользование кредитом, используя схему 365/365. Ответ: 1059965,55 руб.
11. Предприятие оформляет кредитный договор с банком на сумму 6 700 000 руб. на срок с 15.06.2004 г. до 23.09.2005 г. при ставке сложных процентов 5% годовых с ежеквартальным начислением. Рассчитать проценты, начисленные за предоставление кредита, используя схему 365/360. Ответ: 444076 руб.
12. Выдан кредит на сумму 30 000 руб. сроком с 15.01.2005 г. до 20.03.2007 г. при ставке сложных процентов 12% годовых. Рассчитать коэффициент наращения, используя схему 360/360. Ответ: 1,27.
13. Банк выдал кредит 50 000 руб. В договоре в первые полгода указана сложная ставка 20% годовых, каждые полгода ставка увеличивается на 3%, срок договора 2 года. Определить наращенную сумму за весь срок кредита. Ответ: 77444,98 руб.
14. В кредитном договоре указана сложная ставка 20% годовых, каждые два года ставка увеличивается на 1,5%, срок договора 10 лет. Определить коэффициент наращения по операции. Ответ: 4,98.
15. По окончании договора, через 90 дней после его подписания должник уплатит 1 000 000 руб. Кредит был выдан под простую ставку 30% годовых. Какова величина кредита? Ответ: 931121,45 руб.
16. Что больше – доход от капитализации процентов или величина депозита при сложной ставке 19% за 8 лет? Ответ: больше доход от капитализации процентов.
1. Правило начисления процентных денег по сложной ставке наращения. Капитализация процентных денег.
2. Отличие в базе начисления простых и сложных процентов. Структура процентных денег при сложной ставке наращения.
3. Начисление процентных денег при изменении значения сложной ставки начисления. Коэффициент наращения.
4. Результаты наращения при начислении процентных денег m раз на периоде, где определена сложная ставка наращения.
5. Начисление по сложной ставке наращения за произвольный период времени.
6. Понятие эффективной ставки наращения. Сравнение темпов роста наращения по простой и сложной ставке наращения, в том числе, с m раз начислением на периоде.
Похожая информация.
Прочитав данную главу, вы будете знать:
- o декурсивный и антисипативный способы;
- o учет влияния инфляции.
Расчет стоимости предприятия (бизнеса), как и большинство экономических расчетов, основывается на вычислении процентов декурсивным или антисипативным (предварительным) способом и теории аннуитетов.
Проценты - это доход в различных формах от предоставления финансовых средств (капитала) в долг или инвестиций.
Процентная ставка - показатель, характеризующий величину дохода или интенсивность начисления процентов.
Коэффициент наращения - величина, показывающая соотношение наращенного первоначального капитала.
Период начисления - промежуток времени, по истечении которого начисляются проценты (получается доход). Период начисления может делиться на интервалы начисления.
Интервал начисления - минимальный период, по прошествии которого происходит начисление части процентов. Проценты могут начисляться в конце интервала начисления (декурсивный способ) или в начале (антисипативный или предварительный способ).
Декурсивный способ
Декурсивная процентная ставка (ссудный процент) - это отношение суммы дохода, начисленного за определенный период, к сумме, имеющейся на начало данного периода.
Когда после начисления дохода за период этот доход выплачивается, а в следующий период процентный доход начисляется на первоначальную сумму, тогда используется формулы начисления простых ставок ссудных процентов.
Если ввести обозначения:
i (%) - годовая ставка ссудного процента (income); i - относительная величина годовой ставки процентов; I - сумма процентных денег, выплачиваемых за период (год);
P - общая сумма процентных денег за весь период начисления;
Р - величина первоначальной денежной суммы (present value);
F - наращенная сумма (future value);
k n - коэффициент наращения;
п - количество периодов начисления (лет);
d - продолжительность периода начисления в днях;
К - продолжительность года в днях К = 365 (366), то декурсивная процентная ставка (i):
Отсюда (6.1)
Тогда коэффициент наращения:
Если интервал наращения меньше одного периода (года) , то
Определение величины наращенной суммы F (future value) называется компаундингом (compounding).
Пример. Кредит 25 000 руб. выдан на 3 года по простой ставке 12% годовых. Определить наращенную сумму.
По формуле (6.1):
Пример. Кредит 25 000 руб. выдан на 182 дня, год обыкновенный, по простой ставке процентов 12% годовых. Определить наращенную сумму.
По формуле (6.2):
Иногда возникает необходимость решить обратную задачу: определить величину первоначальной (текущей, приведенной) суммы Р (present value), зная, какой должна быть наращенная сумма F (future value):
Определение величины первоначальной (текущей, приведенной) суммы р (present value) называется дисконтированием (discounting).
Пример. Через 3 года необходимо иметь сумму 16 500 руб. Какую сумму в этом случае необходимо положить на депозит по простой ставке 12% годовых.
Преобразуя формулы 6.1-6.3, можно получить
Процентные ставки в разные периоды могут изменяться.
Если в течение различных периодов начисления п , п 2 ,..., n N , используются различные ставки процентов i 1 , i 2 ,..., i N , где N - общее количество периодов начисления, то сумма процентных денег в конце периодов начисления при ставке процентов i 1 :
где n 1 - количество периодов начисления при ставке процентов i 1 в конце периодов начисления при ставке процентов и т.д.
Тогда при JV-периодах начисления наращенная сумма (N - номер последнего периода) при любом :
где коэффициент наращения: (6.5)
Пример. Кредит в размере 250 000 руб. выдается на 2,5 года по простой ставке процентов. Процентная ставка за первый год i = 18%, а за каждое последующее полугодие она уменьшается на 1,5%. Определите коэффициент наращения и наращенную сумму.
По формуле (6.5): k n = 1 + 0,18 + 0,5 (0,165 + 0,15 + 0.135) = 1,405.
По формуле (6.4): F = 250 000 х 1,405 = 351 250 руб.
Обратная задача:
Если п к = 1, то , (6.7)
где коэффициент наращения:. (6.8)
Пример. Кредит в размере 250 000 руб. выдается на 5 лет по простой ставке процентов. Процентная ставка за первый год i
По формуле (6.8): k n = 1 + 0,18 + 0,165 + 0.15 + 0,135 + 0,12 = 1,75.
По формуле (6.7): F = 250 000 x 1,75 = 437 500 руб.
Когда после начисления дохода за период этот доход не выплачивается, а присоединяется к денежной сумме, имеющейся на начало этого периода (к сумме, создавшей этот доход), и в следующий период процентный доход начисляется на всю эту сумму, тогда используются формулы начисления сложных процентов.
Если к представленным обозначениям добавить:
i c - относительная величина годовой ставки сложных процентов;
k nc - коэффициент наращения в случае сложных процентов;
j - номинальная ставка сложных ссудных процентов, по которой вычисляется поинтервальная ставка сложных ссудных процентов, то за период начисления, равный году, наращенная сумма - составит: . За второй период (через год): и т.д.
Через п лет наращенная сумма составит:
где коэффициент наращения k nc равен:
Пример. Кредит 25 000 руб. выдан на 3 года по сложной ставке 12% годовых. Определите наращенную сумму.
По формуле (6.9)
Решая обратную задачу:
где - коэффициент дисконтирования.
Коэффициент дисконтирования - величина, обратная коэффициенту наращения:
Пример. Через 3 года необходимо иметь сумму 16 500 руб. Какую сумму в этом случае необходимо вложить на депозит по сложной ставке 12% годовых.
Сравнивая коэффициенты наращения, при начислении простых и сложных процентов видно, что при п > 1. Чем больше периодов начисления, тем больше различие в величине наращенной суммы при начислении сложных и простых процентов.
Можно определить другие параметры:
п не является целым числом, то коэффициент наращения можно представить в двух видах:
где п - не кратное целому числу периодов начисления сложных процентов;
где п = п ц + d - общее количество периодов (лет) начисления, состоящее из целых и нецелого периодов начисления; п п d - количество дней нецелых (неполного) периода начисления; К = 365 (366) - количество дней в году; i c - относительная величина годовой ставки сложных процентов.
Оба варианта правомочны, но дают разные значения из-за разной точности вычисления.
Пример. Кредит 25 000 руб. выдан на 3 года 6 месяцев по сложной ставке 12% годовых. Определите наращенную сумму.
- 1) F = 25 000 (1 + 0,12) 3,5 = 25 000 x 1,4868 = 37 170 руб.;
- 2) F = 25 000 (1 + 0,12) 3 (1 + (180: 365) 0,12) = 25 000 x 1,4049 x 1,0592 = 37 201 руб.
Величина годовой ставки сложных процентов i 1 , i 2 ,..., i N может быть разной в течение различных периодов начисления n 1 , n 2 ,..., n N .
Тогда наращенная сумма в конце первого периода (года) начисления:
Во втором периоде (через год):
В n-периоде (за п периодов (лет)):
Тогда коэффициент наращения:
Пример. Кредит в размере 250 000 руб. выдается на 5 лет по сложной ставке процентов. Процентная ставка за первый год i = 18%, а последующий год она уменьшается на 1,5%. Определите коэффициент наращения и наращенную сумму.
По формуле (6.14): k nc = (1 + 0,18)(1 + 0,165)(1 + 0,15)(1 + 0,135)(1 + 0,12) = 2,0096.
По формуле (6.13): F = 250 000 x 1,75 = 502 400 руб.
Обратная задача:
Если начисление сложных процентов производится поинтервально, т.е. несколько раз за период, то формула начисления за интервал
где j = i - номинальная ставка сложных ссудных процентов; т - количество интервалов начисления в периоде (поквартально, ежемесячно и т.д.).
Доход за интервал присоединяется к денежной сумме, имеющейся на начало этого интервала.
Тогда наращенная сумма при поинтервальном начислении за каждый период через п периодов (лет) составит
Кроме того, можно определить другие параметры:
Пример. Кредит 25 000 руб. выдан на п = 3 года по сложной ставке 12% годовых, выплата по полугодиям т = 2. Определите наращенную сумму.
По формуле (6/16) 
.
Если количество периодов начисления сложных процентов п не является целым числом, то коэффициент наращения можно представить в виде
где п п - количество целых (полных) периодов (лет) начисления; р - количество целых (полных) интервалов начисления, но меньше общего количества интервалов в периоде, т.е. р < m;d - количество дней начисления, но меньше количества дней в интервале начисления.
Пример. Кредит 25 000 руб. выдан на и =3 года 8 месяцев, 12 дней по сложной ставке 12% годовых, выплата по полугодиям т = = 2. Определите наращенную сумму.
Тема: Математические основы финансового менеджмента
Вопросы:
Способы начисления процентов
Сущность простых и сложных процентов
Методы оценки аннуитетов
Ответы:
1.Способы начисления процентов
Процента – это доход от предоставления капитала в долг в различных формах либо от инвестиций производственного или финансового характера.
Наращение первоначальной суммы долга – это увеличение суммы долга за счёт присоединения начисленных процентов (дохода).
Коэффициент наращения – это величина, показывающая во сколько раз вырос первоначальный капитал.
Период начисления – это промежуток времени, за который начисляются проценты.
Существует 2 способа определения и начисления процентов:
Дискурсивный способ начисления процентов – проценты начисляются в конце каждого интервала, хи величина определяется исходя из величины предоставляемого капитала, дискурсивная процентная ставка представляет собой выраженное в процентах отношение суммы начисленного, за определённый интервал, дохода к сумме, имеющейся на начало данного интервала.
Антисипотивный способ начисления процентов – проценты начисляются в начале каждого интервала, сумма процентных денег определяется исходя из наращенной сумме. Процентной ставкой будет, выраженное в процентах отношение суммы дохода, выплачиваемого за определённый период к величине наращённое суммы, полученной по прошествии этого интервала.
В мировой практике дискурсивный способ наращения процентов получил наибольшее распространение, а антисипотивный способ наращения процентов рассматривается как банковское дисконтирования или банковский учёт векселей, и обычно применяется в периоды высоких темпов инфляции.
2.Сущность простых и сложных процентов
Известны 2 основные схемы дискретного начисления процентов:
Схема простых процентов предполагает неизменность базы с которой происходит исчисление. Процесс дисконтирования по схеме простых процентов определяется по формуле:
Схема сложных процентов предполагает изменность за счёт капитализации процентов начисленных но не выплаченных к основной сумме. Наращение сложных процентов:
Мультиплицирующий множитель в процессе наращения для определения бедующей стоимости, его значения табулированы.
Процесс в котором заданы исходная сумма и ставка называется процессом наращения, искомая величина – наращенной суммой, а используемая в операции ставка – ставкой наращения.
Процесс в котором заданы ожидаемая в будущем к получению сумма и ставка называется процессом дисконтирования , искомая величина – приведённой суммой , а используемая в операции ставка – ставкой дисконтирования.
Процесс дисконтирования по простым процента осуществляется по формуле:
Процесс дисконтирования по схеме сложных процентов осуществляется по формуле:
Дисконтирующий множитель ля определения настоящей суммы, его значения табулированы.
4.Методы оценки аннуитетов
Поток однонаправленных платежей с равными интервалами между последовательными платежами в течении определённого количества лет называется аннуитетом (финансовой рентой).
Примеры аннуитетов: пенсионный фонд, погашение заёмщиком кредита.
Оценка денежного потока может выполняться в рамках решения задач:
Прямой – т.е. производится оценка с позиции будущего и реализуется схема наращения (Схема наращения аннуитета постнумерандо.
А-сумма аннуитета
FM3(i;n) – мультиплицирующий множитель для аннуитета в процессе наращения, значения так же табулированы
Схема наращения для аннуитета пренумеранда реализуется по формуле
FV=A*FM3(i;n)*(1+i)
Обратной, т.е. проводится оценка с позиции настоящего, реализуется схема дисконтирования.
Процесс дисконтирования для аннуитета постнумеранда осуществляется по формуле
A*FM4(i;n) –дисконтирующий множитель для аннуитета, его значения так же табулированы.
Процент дисконтирования для пренумерендо: =A*FM4(i;n)*(1+i)
