Прогнозирование на основе тренда

Методика статистического прогноза по тренду и колеблемости основана на их экстраполяции, т.е. на предположении, что параметры тренда и колеблемости сохраняться до прогнозируемого периода. Такая экстраполяция справедлива, если система развивается эволюционно в достаточно стабильных условиях. Обычно рекомендуют, чтобы сроки прогноза не превышали 1/3 длительности базы расчета тренда. Методика прогнозирования по тренду с учетом колеблемости следующая:

1. Строится уравнение тренда (по методу наименьших квадратов или скользящего среднего) и вычисляются среднее квадратическое отклонение уровней ряда от тренда s(t). Прежде всего вычисляется точечный прогноз – значение уровня тренда в прогнозируемом периоде. Однако, параметры тренда, полученные по ограниченному числу уровней ряда, - это лишь выборочные средние оценки. Если взять базу для расчета тренда несколько иную (добавить 2 года в начале или в конце), то получим иные параметры. Следовательно, прогноз будет иной. Поэтому точечный прогноз имеет вероятностную форму и вычисляется средняя ошибка прогноза. Средняя ошибка прогноза линейного тренда на год с номером t k вычисляется по формулам:

а) для однократного выравнивания

t k - номер года прогноза

N – количество уровней (количество наблюдений)

б) для скользящего среднего при L-сдвигах базы и ее длине n

Для получения достаточно надежных границ прогноза (скажем, с вероятностью 0,9 того, что ошибка будет не более указанной), следует среднюю ошибку умножить на величину t-критерия Стьюдента при указанной вероятности (или значимости 1-0,9 = 0,1) и при числе степеней свободы =N-p, где р – количество параметров в уравнении тренда.

Получают предельную ошибку с данной вероятностью

Тогда прогноз с учетом предельной ошибки будет равен

Что такое тренд и чем он характеризуется и как его спрогнозировать? — вопросы, волнующие новичков рынка. Ведь понятие Форекс тренда очень важно в торговле на бирже — торгуя по направлению тренда, игрок может получить хороший доход, при этом уровень рисков будет минимальным. Понятие Форекс тренда представляет собой движение цены, с определенным направлением. Именно такой раздел анализа на Форекс, как технический, изучает направление тренда — определить направление тенденции, узнать, где его начало и конец — задача номер один для аналитиков, использующих технический метод на Форекс.

Чтобы корректно сделать все процедуры и точно определить нужное направление, можно применить такие инструменты, как трендовые линии (они строятся на откатах цен).

Также трейдерами активно используются и другие инструменты (для определения тренда и его параметров) — специальные индикаторы валютного рынка.

На бирже Форекс (вне зависимости от методики выявления направления движения цены), присутствуют такие варианты тенденции:

— восходящий тренд (бычий);
— нисходящий (медвежий);
— боковой (флэт).

Каждый из видов тренда имеет свои особенности и специфику работы. Например, при использовании восходящего тренда трейдеры находятся в поисках покупки, при нисходящем- продажи. Если Вы выбираете флэт, то действуйте от границ канала- внизу будет происходить покупка, а вверху соответственно- продажа. Чтобы быть уверенным в видах тренда и уметь ими пользоваться, нужно подробнее изучить каждый из них и знать, как определять тип тренда и как в нем правильно работать. Это обязательная задача для начинающего трейдера, который стремится изучить рынок и заработать хорошую прибыль.
Еще один актуальный вопрос для новичка — как правильно спрогнозировать тренд?

Не смотря на многофункциональный и сложный механизм валютного рынка Форекс, процесс трейдинга можно разделить на несколько частей:

— анализ Форекс рынка;
— прогнозирование тренда.

Успешная реализация данных этапов — залог для результативных сделок трейдера. Эти составляющие неотъемлемы друг от друга — без проведения анализа нельзя сформировать прогноз, как и без процесса прогнозирования нельзя открыть прибыльную сделку. Этап прогнозирования тенденции характеризуется, на основании временного интервала торговли и потенциальной длительности сделки. Если рассматривать вариант краткосрочного трейдинга , то прогнозирование основывается на закономерностях. Задача трейдера — определить закономерности и спрогнозировать. Для успешной реализации, производится визуальная оценка — анализ тренда, который присутствует на рынке, определяется его направление, тип движения и т.д.

Когда вся информация получена и данные проработана, можно строить прогноз и искать удачную точку для входа, планируя свои действия.

Вариант среднесрочной торговли предполагает проведение технического анализа и составление точных прогнозов. Для этого можно применить индикаторы, и на основании полученной информации составить прогнозы. Чтобы прогнозирование тренда было максимально точным, лучше не исключать влияние фундаментальных факторов. Да, невозможно на 100% предсказать поведение цены и ее реакцию на новость, но можно отметить данное время выхода, как возможный разворот тренда — указав точки. Если мы хотим применить долгосрочный вариант прогнозирование тренда, то важно учитывать насколько сложный это процесс. Важно не только производить детальный анализ валютной пары — анализировать график, ища закономерности, но и производить корректировку уже присутствующего тренда.

Колебания рынка позволяют установить ордер (в благоприятном месте), отсутствие же закономерностей и спокойствие говорит о том, что торги можно отложить до лучшего момента — подождать выгодной ситуации.

Используя тренд, его характеристики и варианты прогнозирования, можно не только выгодно торговать, но и лучше разбираться в тонкостях трейдинга!

Задание 4.1. Спрогнозировать объем результативного показателя на 13-18-ый месяцы статистическими методами (с помощью среднего абсолютного прироста, среднегодового темпа роста) и по уравнению линейного тренда.

Проанализировать полученные результаты, представив их в виде табл. 5, и выбрать наилучшую модель, при прогнозировании по которой получены минимальные ошибки прогноза. Сделать выводы.

Задание 4.2. На основе данных за 1-12 месяцы по результативному показателю рассчитать коэффициенты автокорреляции 1-го и 2-го порядка.

Проанализировать полученные результаты. Сделать выводы.

Таблица 5

Результаты прогнозирования на основе трендовых моделей

4.2. Методические указания к практическим занятиям

Статистические методы прогнозирования.

Наиболее простой метод статистического прогнозирования предполагает использование средних характеристик ряда динамики: среднего абсолютного прироста и среднего темпа роста.

1. С помощью среднего абсолютного прироста.

Скорость изменения уровней временного ряда за определенный отрезок времени характеризуется средним абсолютным приростом. Предполагая его стабильным, прогноз можно дать в виде следующей экстраполяции:

,

где
- прогнозируемый уровень,

k - период экстраполяций (год, два,....),

у n - последний уровень динамического ряда,

- средний абсолютный прирост,
.

2. С помощью среднего темпа роста.

Прогнозное значение уровня, исходя из среднего коэффициента роста, можно получить по формуле:

где
- средний темп роста в коэффициентах,
.

Прогнозирование по уравнению тренда в случае линейной зависимости осуществляется по уравнению:

y = a + b * t ,

где y - зависимая переменная, показатель, который прогнозируется;

a - отрезок, начальное значение зависимой переменной, экономической интерпретации чаще всего не имеет;

b - наклон, показывает, на сколько единиц изменится прогнозируемый показатель y при изменении фактора времени на единицу; наклон является статистическим нормативом;

t - фактор времени (если время измеряется месяцами, то для прогнозирования надо подставить месяц, следующий за отчетным).

Для этого необходимо:

1. Определить параметры уравнения тренда:

и таблица следующего вида:

Инструкция . Укажите количество данных (количество строк). Полученное решение сохраняется в файле Word и Excel .

Тенденция временного ряда характеризует совокупность факторов, оказывающих долговременное влияние и формирующих общую динамику изучаемого показателя.

Способ отсчета времени от условного начала

Пример . Статистическое изучение динамики численности населения.

1. С помощью цепных, базисных, средних показателей динамики оцените изменение численности, запишите выводы.
2. С помощью метода аналитического выравнивания (по прямой и параболе, определив коэффициенты с помощью МНК) выявите основную тенденцию в развитии явления (численность населения Республики Коми). Оцените качество полученных моделей с помощью ошибок и коэффициентов аппроксимации.
3. Определите коэффициенты линейного и параболического трендов с помощью средств «Мастера диаграмм». Дайте точечный и интервальный прогнозы численности на 2010 г. Запишите выводы.

а) Линейное уравнение тренда имеет вид y = bt + a
1. Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов . Используем способ отсчета времени от условного начала.
Система уравнений МНК для линейного тренда имеет вид:
a 0 n + a 1 ∑t = ∑y
a 0 ∑t + a 1 ∑t 2 = ∑y t

Для наших данных система уравнений примет вид:
10a 0 + 0a 1 = 10400
0a 0 + 330a 1 = -4038
Из первого уравнения выражаем а 0 и подставим во второе уравнение
Получаем a 0 = -12.236, a 1 = 1040
Уравнение тренда:
y = -12.236 t + 1040

Оценим качество уравнения тренда с помощью ошибки абсолютной аппроксимации.

Ошибка аппроксимации в пределах 5%-7% свидетельствует о хорошем подборе уравнения тренда к исходным данным.

б) выравнивание по параболе
Уравнение тренда имеет вид y = at 2 + bt + c
1. Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов.
Система уравнений МНК:
a 0 n + a 1 ∑t + a 2 ∑t 2 = ∑y
a 0 ∑t + a 1 ∑t 2 + a 2 ∑t 3 = ∑yt
a 0 ∑t 2 + a 1 ∑t 3 + a 2 ∑t 4 = ∑yt 2

Ошибка аппроксимации для параболического уравнения тренда.

Поскольку ошибка меньше 7%, то данное уравнение можно использовать в качестве тренда.

Минимальная ошибка аппроксимации при выравнивании по параболе. К тому же коэффициент детерминации R 2 выше чем при линейной. Следовательно, для прогнозирования необходимо использовать уравнение по параболе.

Интервальный прогноз.
Определим среднеквадратическую ошибку прогнозируемого показателя.

m = 1 - количество влияющих факторов в уравнении тренда.
Uy = y n+L ± K
где

L - период упреждения; у n+L - точечный прогноз по модели на (n + L)-й момент времени; n - количество наблюдений во временном ряду; Sy - стандартная ошибка прогнозируемого показателя; T табл - табличное значение критерия Стьюдента для уровня значимости α и для числа степеней свободы, равного n-2 .
По таблице Стьюдента находим Tтабл
T табл (n-m-1;α/2) = (8;0.025) = 2.306
Точечный прогноз, t = 10: y(10) = 1.26*10 2 -12.24*10 + 998.5 = 1001.89 тыс. чел.

1001.89 - 71.13 = 930.76 ; 1001.89 + 71.13 = 1073.02
Интервальный прогноз:
t = 9+1 = 10: (930.76;1073.02)

В этой статье мы на примере рассмотрим один из статистических методов прогнозирования продаж. Мы будем прогнозировать прибыль, а точнее размер месячной прибыли. Совершенно аналогично можно делать прогнозы и других показателей продаж: выручка, объем продаж в натуральных единицах, количество сделок, количество новых клиентов и т.д.

Описанный в статье метод прост (относительно, конечно) и не привязан к специализированным программам. В принципе, для составления прогноза достаточно было бы бумаги, карандаша, калькулятора и линейки. Однако, это очень трудоемкий способ, поскольку в процессе возникает много рутинных вычислений. Поэтому мы будем использовать Microsoft Excel (версии 2000).

Помимо простоты у метода есть еще один важный плюс: для прогноза требуется небольшая статистика. Сделать прогноз на 2-3 месяца вперед можно, если есть статистика хотя бы за 13-14 месяцев. Ну а большая статистика дает возможность и прогноз делать на больший период.

Сбор и подготовка статистики продаж

Прогнозирование начинается, конечно, со сбора статистики продаж. Здесь нужно обращать внимание на то, чтобы все сделки были более-менее одного «масштаба», и чтобы количество сделок в месяц было достаточно большое.

Например, розничный магазин. Даже в небольшом магазине в месяц могут делаться тысячи и даже десятки тысяч покупок. Сумма каждой покупки, по сравнению с месячной выручкой, весьма мала — 0,0..01% от выручки. Это хорошая ситуация для прогнозирования.

Если прогноз делается для компании, работающей на корпоративном рынке, то нужно следить, чтобы количество сделок в месяц было хотя бы не менее 100, иначе для прогнозирования нужно применять другие методы. Также, если в статистике продаж встречаются крупные сделки, с суммой, например, около 10% от месячной выручки, то такие сделки надо исключать из статистики и рассматривать отдельно (опять же другими методами). Если крупные сделки не исключить, то они создадут в динамике «выбросы», которые могут сильно ухудшить точность прогноза.

По этим данным мы будем составлять прогноз на 12 месяцев вперед.

Рис. 1. График помесячной прибыли, данные из таблицы .

Существуют две основные модели временного ряда: аддитивная и мультипликативная. Формула аддитивной модели: Y t = T t + S t + e t Формула мультипликативной модели: Y t = T t x St + e t Обозначения: t - время (месяц или другой период детализации); Y - значение величины; Т — тренд; S — сезонные изменения; е - шум. Разница между моделями хорошо видна на рисунке , где приведены два ряда, с одинаковыми трендами, один ряд — по мультипликативной модели, другой — по аддитивной.

Примечание. Могут встречаться такие показатели продаж, у которых сезонные колебания практически отсутствуют.

Рис. 2. Примеры рядов: слева — по аддитивной модели; справа — по мультипликативной.

В нашем примере мы будем использовать мультипликативную модель.

Для каких-либо других данных, возможно лучше подошла бы аддитивная модель. Узнать на практике, какая модель подходит лучше, можно либо интуитивно, либо методом проб и ошибок.

Выделение тренда

В формулах моделей рядов динамики (Y t = T t + S t + e t и Y t = T t S t + e t ) фигурирует тренд T t , такой тренд мы будем называть «точным».

В практических задачах выделить точный (вернее, «почти точный») тренд T t может оказаться технически очень сложно (см. например, пункт в списке литературы).

Поэтому мы будем рассматривать приближенные тренды. Самый простой способ получения приближенного тренда — сглаживание ряда методом скользящего среднего с периодом сглаживания равным максимальному периоду сезонных колебаний. Сглаживание почти полностью устранит сезонные колебания и шум.

В рядах с детализацией по месяцам сглаживание нужно делать по 12-ти точкам (то есть по 12-ти месяцам). Формула скользящего среднего с периодом сглаживания 12 месяцев:

Где M t — значение скользящего среднего в точке t ; Y t — значение величины временного ряда в точке t .

Примечание. Очень редко, но все-же бывают динамики продаж, где длина полного период не только не равна году, но и «плавает». В таких случаях колебания, видимо, вызваны не сезонными изменениями, а какими-то другими, более мощными факторами.

Обратите внимание: поскольку мы вычисляем некоторый средний тренд за последние 12 месяцев, то в поведении приближенного тренда по сравнению с точным, происходит как бы запаздывание на 6 месяцев. Не смотря на то, что тренд, полученный методом скользящего среднего — это не точный, а приближенный (да еще и с запаздыванием), он вполне подходит для нашей задачи.

Прологарифмируем уравнение мультипликативной модели, и если шум e t не очень большой, то получим аддитивную модель.

Здесь ε 1;t также обозначает шум. Тренд мы выделим (скользящим средним за 12 месяцев) именно для такой преобразованной модели. На рисунке 3 — графики и показателя и тренда M t .

Рис. 3. График прологарифмированной величины показателя и тренда М и скользящего среднего по 12-ти месяцам. Слева на одном графике и величина и тренд. Справа — тренд в увеличенном масштабе. По оси X — номера периодов.

Примечание. Если темпы динамики небольшие, скажем, 10-15% в год, то и с мультипликативной моделью можно работать как с аддитивной (не логарифмирую).

Прогноз тренда

Тренд мы получили, теперь нужно его спрогнозировать. Прогноз можно бы было получить, например, методом экспоненциального сглаживания (см. ), но поскольку мы хотим прогнозировать максимально простым методом, то остановимся на обычной параметрической аппроксимации. В качестве функций приближения используем следующий набор:

Линейная функция: y = a + b × t.

Логарифмическая функция: y = a + b × ln(t)

Полином второй степени: y = a + b × t + c × t 2

Степенная функция: y = a × t b

Экспоненциальная функция: y = a × e b × t

Хорошо бы было дополнить набор и другими функциями, но для этого возможностей Excel недостаточно, нужно использовать специализированные программы: Maple, Matlab, MathCad и т.д.

Качество приближения мы будем оценивать по величине достоверности аппроксимации R 2 . Чем ближе эта величина к 1 — тем лучше функция приближает тренд. Это верно не всегда, но в Excel нет других критериев оценки качества аппроксимации. Впрочем, критерия R 2 нам будет достаточно.

На рисунках 4, 5, 6, 7 и 8и мы сделали аппроксимацию нашего тренда различными функциями и каждая функция аппроксимации продолжена на 12 точек вперед. И еще одна аппроксимация — на рисунке 9, полиномом 5-той степени.

Обратите внимание: если некоторая функция хорошо приближает тренд, то это не всегда означает, что данная функция хорошо тренд прогнозирует. В нашем примере полином 5-той степени делает самое лучшее приближение по сравнению с другими функциями (R 2 = 1) и, одновременно, дает самый нереальный прогноз.

По рисункам мы видим, что значение R 2 ближе всего к единице у параболы (полином 5-той степени уже не рассматриваем). Следующая по качеству аппроксимация — прямая линия. Хотя формально парабола аппроксимирует лучше всех, но ее поведение, особенно перевал в отдаленных точках, представляется не очень правдоподобным. Тогда можно взять аппроксимацию прямой, но мы найдем компромисс: среднее арифметическое между параболой и прямой.

Рис. 10. Тренд M t и его прогноз. По оси X — номер периода.

Результат прогноза тренда M t — на рисунке 10. Итак, мы получили прогноз тренда.

Прогноз показателя

Прогноз тренда у нас есть. Теперь можно сделать прогноз самого показателя. Формула очевидна:

Ln(Y t+1) = 12 × M t+1 - Ln(Y t) - Ln(Y t-1) - ... - Ln(Y t-10)

Y t+1 = exp(Ln(Y t+1))

До периода t = 19 у нас есть фактические данные. Для t = 20..31 у нас есть спрогнозированный тренд M t , а значения показателя мы будем считать последовательно, сначала для t = 20, потом для t = 21 и т.д.

Результаты прогноза — на рисунке 11 и в таблице 2.

Рис. 11. Прогноз показателя. По оси X — номер периода.

Сравнение прогноза и реальных данных

На рисунке 12 — графики прогноза и фактических данных.

В таблице 3 приведено сравнение реальных данных и спрогнозированных. Посчитаны ошибки прогноза, абсолютные: Прогноз-Факт; и относительные: 100%*(Прогноз-Факт)/Факт.

Обратите внимание, что ошибки прогноза смещены в положительную сторону. Причина этого может быть как в несовершенстве метода, так и в каких-то объективных обстоятельствах, например, в изменении ситуации на рынке в прогнозируемом периоде.

Точность прогноза

Рис. 12. Фактические данные и спрогнозированные. По оси X — номер периода.

Даже если модель очень хорошо описывает динамику реальных данных, что в общем-то большая редкость, то остаются еще шумы, которые вносят свою ошибку. Например, если уровень шума составляет 10% от значения показателя, то и ошибка прогноза будет не меньше 10%. Плюс, как минимум, еще несколько процентов ошибки добавятся из-за несоответствия модели и динамики реальных данных.

А вообще, лучший способ определить точность — это многократно делать прогнозы для одного и того же процесса и на основании такого опыта определять точность эмпирически.

Заключение и список литературы

В этой статье мы рассмотрели сильно упрощенный метод прогнозирования. Тем не менее, при отсутствии резких изменений на рынке и внутри компании, даже такой простой метод дает удовлетворительную точность прогноза месяцев на 10 вперед.

Литература

1. Крамер Г. «Математические методы статистики».— М.: «Мир», 1975.

2. Кендэл М. «Временные ряды».— М.: «Финансы и статистика», 1981.

3. Андерсон Т. «Статистический анализ временных рядов».— М.: «Мир», 1976.

4. Бокс Дж., Дженкис Г. «Анализ временных рядов. Прогноз и управление».— М.: «Мир», 1976

5. Губанов В.А., Ковальджи А.К. «Выделение сезонных колебаний на основе вариационных принципов. Экономика и математические методы». 2001. т. 37. № 1. С. 91-102.