Опоздание: зло или норма? К опозданиям у нас двойственное отношение. С одной стороны, это зло. К примеру, если у вас не очень много проектов. А особенно, если вы работаете менеджером. Если вы занимаете позиции либо внизу, либо посередине, обязательно все делайте вовремя. Это

MIRR, модифицированная внутренняя норма доходности (рентабельности)

MIRR представляет собой вариант показателя IRR, модифицированный таким образом, чтобы устранить возможные неопределенности при расчетах.

Как и IRR, MIRR характеризует ставку дисконтирования, при которой суммарная приведенная стоимость доходов от осуществляемых инвестиций равна стоимости этих инвестиций. Поскольку метод, используемый для расчета IRR, иногда приводит к неопределенностям, модифицированное значение IRR рассчитывается несколько иначе.

MIRR - скорректированная с учетом нормы реинвестиции внутренняя норма доходности.

С практической точки зрения самый существенный недостаток внутренней нормы доходности - это допущение о постоянстве процентной ставки при дисконтировании денежных потоков, порожденных инвестицией. Для проектов, обеспечивающих нормы прибыли, близкие к барьерной ставке фирмы, проблем с реинвестициями не возникает, так как вполне разумно предположить, что существует много вариантов инвестиций, приносящих прибыль, норма которой близка к стоимости капитала. Однако для инвестиций, которые обеспечивают очень высокую или очень низкую норму прибыли, предложение о необходимости реинвестировать новые денежные поступления может исказить подлинную отдачу от проекта. Понятие скорректированной с учетом нормы реинвестиции внутренней нормы доходности и было предложено для того, чтобы противостоять указанному искажению, свойственному традиционному IRR.

Несмотря на свое громоздкое название, скорректированная с учетом нормы реинвестиции внутренняя норма доходности, или MIRR, также известный как модифицированная внутренняя норма доходности (modified internal rate of return), в действительности гораздо легче рассчитывается вручную, чем IRR. И это происходит именно вследствие сделанного предположения о реинвестиции.

Приведем порядок расчета модифицированной внутренний нормы доходности MIRR :

1. Рассчитывают суммарную дисконтированную стоимость всех денежных оттоков и суммарную наращенную стоимость всех притоков денежных средств.

Дисконтирование осуществляют по цене источника финансирования проекта (стоимости привлеченного капитала, ставке финансирования или требуемой нормы рентабельности инвестиций, Capital Cost, СС или WACC), т.е. по барьерной ставке. Наращение осуществляют по процентной ставке равной уровню реинвестиций.

Другими словами:

• - Все значения доходов, формируемых инвестициями, приводятся к концу проекта. Для приведения используется ставка, равная (WACC ).
• - Все инвестиции и реинвестиции приводятся к началу проекта. Для приведения используется ставка дисконтирования.

Наращенную стоимость притоков называют чистой терминальной стоимостью (Net Terminal Value, NTV).

2. Устанавливают коэффициент дисконтирования, учитывающий суммарную приведенную стоимость оттоков и терминальную стоимость притоков. Ставку дисконта, которая уравновешивает настоящую стоимость инвестиций (PC) с их терминальной стоимостью, называют MIRR, т.е. MIRR определяется как норма дохода, при которой все ожидаемые доходы, приведенные к концу проекта, имеют текущую стоимость, равную стоимости всех требуемых затрат.

Формула для расчета модифицированной внутренней нормы доходности (MIRR ):

где CF k - приток денежных средств в периоде к = 1,2,... п 1 к - отток денежных средств в периоде к = 0, 1,2,... п (по абсолютной величине); i - барьерная ставка (ставка дисконтирования); d - уровень реинвестиций (процентная ставка, основанная на возможных доходах от реинвестиции полученных положительных денежных потоков или норма рентабельности реинвестиций), в качестве d может быть использована WACC; п - число периодов.

В левой части формулы - дисконтированная по цене капитала величина инвестиций (капиталовложений), а в правой части - наращенная стоимость денежных поступлений от инвестиции по ставке равной уровню реинвестиций.

Отметим, что формула MIRR имеет смысл, если терминальная стоимость притоков превышает сумму дисконтированных оттоков денежных средств (приток денег больше их оттока).

Критерий MIRR всегда имеет единственное значение и может применяться вместо показателя IRR для оценки проектов с неординарными денежными потоками. Проект приемлем для инициатора, если MIRR больше барьерной ставки (цены источника финансирования).

При использовании MIRR сложные проценты от ежегодных денежных потоков рассчитываются по более подходящей процентной ставке. Каждый денежный поток и его проценты переносятся к концу действия инвестиции. Затем получающиеся будущие стоимости суммируются, и результат сравнивается с первоначальной инвестицией. Вместо того чтобы определять внутренний коэффициент окупаемости, рассматривая несколько денежных поступлений, мы рассчитываем IRR для одного расхода и одного прихода денег.

Использование MIRR вместо IRR всегда приглушает эффект от инвестиций. Не слишком выгодные инвестиции, для которых нормы прибыли ниже барьерной ставки или нормы реинвестиции, будут всегда лучше выглядеть при использовании MIRR, чем IRR, так как в первом случае денежные потоки будут приносить более высокие доходы, чем во втором. С другой стороны, особо выгодные инвестиции, для которых норма прибыли выше барьерной ставки, по той же причине будут иметь более низкий MIRR.

Методика MIRR не имеет проблемы с множественностью определения внутренней нормы доходности как у метода IRR.

На практике показатель MIRR используется редко, что нельзя считать оправданным.

В данной статье мы рассмотрим, что такое внутренняя норма доходности, какой экономический смысл она имеет, как и по какой формуле рассчитать внутреннюю норму доходности, рассмотрим некоторые примеры расчёта, в том числе при помощи формул MS Exel.

Что такое внутренняя норма доходности?

Внутренняя норма доходности (IRR — Internal Rate of Return) — один из основных критериев оценки (доходности единицы вложенного капитала): ставка дисконта, при которой выполняется равенство суммы дисконтированных доходов по проекту (положительного денежного потока) дисконтированной сумме инвестиций (отрицательному денежному потоку, приведенному объему инвестиций), т.е. когда равна нулю .

В финансово-экономической литературе довольно часто можно встретить синонимы внутренней ставки доходности:

• внутренняя ставка доходности;
• внутренняя ставка отдачи;
• внутренняя норма прибыли;
• внутренняя норма рентабельности;
• внутренняя норма возврата инвестиций.

Внутренняя норма доходности отражает как отдачу инвестированного капитала в целом, так и отдачу первоначальных инвестиций. IRR – это , которая приравнивает сумму приведенных доходов от инвестиционного проекта к величине , т.е. вложения окупаются, но не приносят .

Таким образом, анализ внутренней нормы доходности (прибыли) отвечает на главный вопрос инвестора: насколько ожидаемый от проекта денежный поток оправдает затраты на инвестиции в этот проект. Поэтому при оценке проектов осуществляет расчет IRR каждого проекта и сравнивает его с требуемой (), т.е. со .

Этот расчет обычно ведется методом проб и ошибок, путем последовательного применения к чистому денежному потоку приведенных стоимостей при различных ставках процента. Главное правило: если внутренняя норма доходности меньше требуемой инвестору ставки дохода на вложенный капитал — проект отвергается, если больше — может быть принят.

Формула расчёта внутренней нормы доходности

Внутренняя норма доходности рассчитывается по следующей формуле:

где
NPV IRR (Net Present Value) — чистая текущая стоимость, рассчитанная по ставке IRR;
CF t (Cash Flow) – денежный поток в период времени t;
IC (Invest Capital) – инвестиционные затраты на проект в первоначальном периоде (тоже являются денежным потоком CF 0 = IC).
t – период времени.

или же данную формулу можно представить в виде:

Практическое применение внутренней нормы доходности

Внутренняя норма доходности применяется для оценки проекта или для сопоставительного анализа с другими проектами. Для этого IRR сравнивают с эффективной ставкой дисконтирования, то есть с требуемым уровнем доходности проекта (r). За такой уровень на практике зачастую используют .

Следует отметить, что вместо критерия сравнения WACC может быть использована любая другая норма доходности, например, ставка доходности по , ставка по и т.п. Так, если процентная ставка по депозиту составляет 17%, а IRR инвестиционного проекта составляет 22%, то, очевидно, что деньги следует вкладывать в инвестиционный проект, а не размещать на в банк.

Графический метод поиска внутренней ставки доходности

Предположим, что мы собираемся инвестировать 10 тыс. денежных единиц, и у нас есть варианты их инвестирования в 3 проекта каждый из которых, как предполагается, будет формировать определённые денежные потоки на протяжении 5 лет.

Продисконтируем вышеуказанные денежные потоки по 3-м проектам по разным процентным ставкам (от 0 до 14%) и на основе полученных результатов построим график.

На графике прослеживается чёткая взаимосвязь между ставкой дисконтирования и чистой текущей стоимостью: чем выше ставка дисконтирования, тем ниже дисконтированная стоимость.

Внутренняя норма доходности, как это следует из определения указанного в начале данной статьи, — это тот уровень ставки дисконта, при которой NPV=0. В нашем примере внутренняя норма доходности определяется в точках пересечения кривых с осью Х. В частности, для проекта №1 IRR составляет 8,9%, для проекта №2 IRR=6,6% и для проекта №3 IRR=4,4%.

Расчёт внутренней нормы доходности (IRR) при помощи MS Exel

Внутреннюю норму доходности можно довольно легко рассчитать при помощи встроенной финансовой функции ВСД (IRR) в MS Exel.

Функция ВСД возвращает внутреннюю ставку доходности для ряда потоков денежных средств, представленных их численными значениями. Эти денежные потоки не обязательно должны быть равными по величине (как в случае ), однако они должны иметь место через равные промежутки времени , например ежемесячно или ежегодно. При этом в структуре денежных потоков должен обязательно быть хотя бы один отрицательный денежный поток (первоначальные инвестиции) и один положительный денежный поток (чистый доход от инвестиции).

Также для корректного расчёта внутренней нормы доходности при помощи функции ВСД важен порядок денежных потоков, т.е. если потоки денежных средств отличаются по размеру в разные периоды, то их обязательно необходимо указывать в правильной последовательности.

Синтаксис функции ВСД:

где
Значения - это массив или ссылка на ячейки, содержащие числа, для которых требуется подсчитать внутреннюю ставку доходности, учитывая требования указанные выше;
Предположение - это величина, о которой предполагается, что она близка к результату ВСД:

• Microsoft Excel использует метод итераций для вычисления ВСД. Начиная со значения Предположение, функция ВСД выполняет циклические вычисления, пока не получит результат с точностью 0,00001 процента. Если функция ВСД не может получить результат после 20 попыток, то выдается значение ошибки #ЧИСЛО!.
• В большинстве случаев нет необходимости задавать Предположение для вычислений с помощью функции ВСД. Если Предположение опущено, то оно полагается равным 0,1 (10 процентов).
• Если ВСД возвращает значение ошибки #ЧИСЛО! или если результат далек от ожидаемого, можно попытаться выполнить вычисления еще раз с другим значением аргумента Предположение.

Пример расчёта внутренней ставки доходности (на основе данных о денежных потоках по трём проектам, которые рассматривались выше):

В частности для проекта №1 значение IRR=8,9%.

Расчёт внутренней нормы доходности в MS Exel при неравных промежутках времени для денежных потоков

Посредством Exel-функции ВСД можно довольно легко определить внутреннюю норму доходности, однако данную функцию можно применять лишь в том случае, если денежные потоки поступают с регулярной периодичностью (например, ежегодно, ежеквартально, ежемесячно). Однако на практике довольно часто возникают ситуации, когда денежные потоки поступают в разные временные промежутки. В таких случаях можно воспользоваться другой встроенной финансовой функцией Exel — ЧИСТВНДОХ, которая возвращает внутреннюю ставку доходности для графика денежных потоков, которые не обязательно носят периодический характер.

Синтаксис функции ЧИСТВНДОХ

где
Значения — ряд денежных потоков, соответствующий графику платежей, приведенному в аргументе Даты. Первый платеж является необязательным и соответствует затратам или выплате в начале инвестиции. Если первое значение является затратами или выплатой, оно должно быть отрицательным. Все последующие выплаты дисконтируются на основе 365-дневного года. Ряд значений должен содержать по крайней мере одно положительное и одно отрицательное значение.
Даты — расписание дат платежей, которое соответствует ряду денежных потоков. Даты могут идти в произвольном порядке.
Предположение — величина, предположительно близкая к результату ЧИСТВНДОХ.

Пример расчёта:

Модифицированная внутренняя норма доходности (Modified Internal Rate of Return, MIRR)­ – показатель, который отражает минимальный внутренний уровень доходности проекта при осуществлении в проект. Данный проект использует процентные ставки, полученные от реинвестирования капитала.

Формула расчета модифицированной внутренней нормы доходности:

где
MIRR – внутренняя норма доходности инвестиционного проекта;
COF t – отток денежных средств в периоды времени t;
CIF t – приток денежных средств;
r – ставка дисконтирования, которая может рассчитываться как средневзвешенная стоимость капитала WACC;
d – процентная ставка реинвестирования капитала;
n – количество временных периодов.

В MS Exel есть специальная встроенная финансовая функция МВСД для расчёта модифицированной внутренней ставки доходности.

Синтаксис функции МВСД:

где
Значения — массив или ссылка на ячейки, содержащие числовые величины. Эти числа представляют ряд денежных выплат (отрицательные значения) и поступлений (положительные значения), происходящих в регулярные периоды времени.
Ставка_финанс — ставка процента, выплачиваемого за деньги, используемые в денежных потоках.
Ставка_реинвест — ставка процента, получаемого на денежные потоки при их реинвестировании.

Преимущества и недостатки внутренней нормы доходности (IRR)

К основным преимуществам IRR можно отнести:

1. возможность сравнения различных инвестиционных проектов между собой с целью определения более привлекательных с точки зрения экономической эффективности использования имеющегося капитала. Сравнение может быть произведено и с неким условным эталоном, например, с процентной ставкой по депозитам;
2. возможность сравнения различных инвестиционных проектов с разным горизонтом инвестирования.

Основными недостатками показателя внутренней нормы доходности (IRR) являются:

1. сложность прогнозирования будущих денежных платежей. На размер планируемых платежей влияет множество факторов риска, влияние которые сложно объективно оценить;
2. невозможность определения абсолютных денежных средств от инвестирования;
3. при произвольном чередовании притоков и оттоков денежных средств в случае одного проекта могут существовать несколько значений IRR. Поэтому нельзя принять однозначное решение на основе показателя IRR;
4. показатель IRR не отражает размер реинвестирования в проект (данный недостаток решен в модифицированной внутренней норме доходности MIRR).

Внутренняя норма доходности (IRR) и ее модифицированный вариант (MIRR)

Метод в рамках стоимостного анализа, который более часто приме няется на практике по сравнению сNPV(как показывают эмпириче ские исследования), - определениевнутренней нормы доходности, или внутренней ставки отдачи(internalrateofreturn,IRR).Значение критерияIRRпоказывает, какую отдачу (доходность) получит инве стор, если реализует инвестиционный проект с чистой приведенной стоимостьюNPV,равной нулю. При реальном положительном значенииNPVреализуемого инвестиционного проектаIRRозначает минимальную отдачу, на которую может рассчитывать инвестор (реальная отдача будет выше). Существует и другая трак товка значения критерия внутренней нормы доходности:IRRравно максималь ной допустимой цене капитала, привлекаемого для финансирования инвестици онного проекта, при которой отдача проекта не упадет ниже ожидаемой.Суть метода за ключается в расчете усредненной по годам ставки доходности, которую обеспечивает инвестиционный проект, и сопоставление ее с диапазоном значений ставок альтернативного инвестирования на рынке. Значение этого критерия равно ставеr, вычисленной в результате следующего уравнения:

Самая большая сложность здесь - правиль ный расчет средней доходности за некий период (например, год), когда денежные выгоды приходят на протяжении ряда периодов и не равны между собой. Расчет по формуле средней арифметической доходности по годам не подходит. Аналитики находят ответ в формуле внутренней нормы доходности, в которой текущие инвестиции приравнены к при веденной оценке выгод. Заметим, что уравнивание возможно не толь ко на момент времениt= 0. Такое соотношение может рассматриваться и по любому будущему моменту времени. Например, можно рассчиты вать значениеIRRчерез уравнивание будущих оценок инвестиционных затрат (на момент завершения проекта) с будущими оценками текущих поступлений.

Этот аналитический метод имеет два существенных преимущества. Во-первых, оценка проекта в терминах годовой доходности, а не в абсо лютных величинах прироста стоимости. Абсолютные величины стои мостных оценок сложно воспринимаются непрофессионалами, их до статочно проблематично контролировать по ходу реализации проекта. Доходность в процентах годовых как характеристика проекта более по нятна для сравнений и оценки преимуществ. Во-вторых, для принятия решения по проекту не требуется обоснования фиксированной ставки дисконтирования (как это предусмотрено в методеNPV). Достаточно понимать диапазон альтернативных ставок на рынке. Если получаемая доходность проекта заведомо выше разнорискованных рыночных ста вок (часто наблюдаются расчетные оценки по проектам на уровне 80, 120, 350% годовых), то проект признается эффективным.

Многие компании при разработке положения о принятии инвести ционной программы и инвестиционного бюджета фиксируют значение барьерной ставки инвестирования. Так, для профильных проектов ком пании «Лукойл» (нефтедобыча, нефтепереработка) ставка зафиксиро вана на уровне 15% годовых (имеются в виду проекты, оцениваемые по рублевым денежным потокам). Девелоперская компания «Система-Галс» не рассматривает проекты с доходностью ниже 21%.

ПоказательIRRотражает максимально допустимый уровень затрат на капитал, привлекаемый по проекту. Например, если бы проект мог полностью финансироваться за счет банковской ссуды (совершенно не реалистичное предположение), то значениеIRRпоказало бы верхнюю границу допустимого уровня процентной ставки. Более высокая ставка привела бы к «проеданию» проектом стоимости компании. Часто при водятся примеры финансирования проекта за счет исключительно за емных средств, но следует иметь в виду, что обеспечением этих средств являются как активы проекта, так и компании, его осуществляющей. В связи с этим при полном заемном финансировании проекта некор ректно не учитывать риск владельцев собственного капитала компании и их требуемый уровень доходности.

Смысл такого расчета доходности хорошо демонстрирует ситуация с нахождением ставки, которая делает позицию инвестора нейтральной к двум возможным инвестиционным решениям. Решение первое - со хранение инвестиционной суммы, отказ от вложения в проект и реинве стирование ее ежегодно под определенный процент. Второе решение - получение взамен инвестиционной суммы периодичных денежных потоков, которые номинально равны потокам по инвестиционному про екту и также могут реинвестироваться под определенную ставку. На хождениеIRR- это нахождение ставки процента, который уравнивает эти два решения инвестора.

Описанный метод определения доходности проекта имеет крити ческие замечания как формального расчетного плана (например, воз можна ситуация отсутствия корня у уравнения, наличие нескольких корней), так и экономического, смыслового. Первое (главное) замеча ние касается малой реалистичности предположения о возможности ре инвестирования денежных сумм проекта под расчетную ставку. Лишь очень малое число проектов может подпадать под такое предположение («шагающий экскаватор», когда инвестиционный проект ежегодно дуб лируется). Второе замечание - различный риск инвестиционных отто ков и операционных денежных средств по проекту.

Более корректно проводить расчет ставки доходности проекта по формулемодифицированной внутренней нормы доходности(MIRR), когда вводятся две ставки, отражающие реальную рыночную среду проекта: финансовая, характеризующая риск инвестиционных оттоков и часто принимаемая на уровне безрисковой или ставки кредитования (средней стоимости заемного капитала); ставка рефинансирования, до ступная для компании. Скорректированная с учетом нормы реинвестиции внутренняя норма доходности, или MIRR, также известный как модифицированная внутренняя норма доходности, в действительности гораздо легче рассчитывается вручную, чем IRR. И это происходит именно вследствие сделанного предположения о реинвестиции.

Порядок расчета модифицированной внутренний нормы доходности MIRR:

1. Рассчитывают суммарную дисконтированную стоимость всех денежных оттоков и суммарную наращенную стоимость всех притоков денежных средств.

Дисконтирование осуществляют по цене источника финансирования проекта (стоимости привлеченного капитала, ставке финансирования или требуемой нормы рентабельности инвестиций, Capital Cost, CC или WACC), т.е. по барьерной ставке. Наращение осуществляют по процентной ставке равной уровню реинвестиций. Наращенную стоимость притоков называют чистой терминальной стоимостью (Net Terminal Value, NTV).

2. Устанавливают коэффициент дисконтирования, учитывающий суммарную приведенную стоимость оттоков и терминальную стоимость притоков. Та ставка дисконта, которая уравновешивает настоящую стоимость инвестиций (PV) с их терминальной стоимостью, и называется MIRR.

Формула для расчета модифицированной внутренней нормы доходности (MIRR):

Где- приток денежных средств в периоде t = 1, 2, ...n;

Отток денежных средств в периоде t = 0, 1, 2, ... n (по абсолютной величине);

r - барьерная ставка (ставка дисконтирования), доли единицы;

d - уровень реинвестиций, доли единицы (процентная ставка, основанная на возможных доходах от реинвестиции полученных положительных денежных потоков или норма рентабельности реинвестиций);

n - число периодов.

В левой части формулы - дисконтированная по цене капитала величина инвестиций (капиталовложений), а в правой части - наращенная стоимость денежных поступлений от инвестиции по ставке равной уровню реинвестиций.

Отметим, что формула MIRR имеет смысл, если терминальная стоимость притоков превышает сумму дисконтированных оттоков денежных средств (приток денег больше их оттока).

Критерий MIRR всегда имеет единственное значение и может применяться вместо показателя IRR для оценки проектов с неординарными денежными потоками. Проект приемлем для инициатора, если MIRR больше барьерной ставки (цены источника финансирования).

Пример №1.Размер инвестиции - 115000$.Доходы от инвестиций в первом году: 32000$;во втором году: 41000$;в третьем году: 43750$;в четвертом году: 38250$.Размер уровня реинвестиций - 6,6%

(1 + MIRR) 4 = (32000 · (1 + 0,066) 3 + 41000 · (1 + 0,066) 2 + 43750 · (1 + 0,066) + 38250) / (115000 / 1)= 170241,48 / 115000 = 1,48036

Ответ: модифицированная внутренняя норма доходности равна 10,304%, что больше нормы реинвестиций (6,6%), это означает, что проект можно реализовывать.

Внутренняя норма доходности (IRR) для такой инвестиции равна 30,53%. Таким образом, предполагается, что 2 240 тыс. рублей, полученные в конце первого года, вкладываются в некоторый проект или счет, который приносит в дальнейшем 30,53%.