Элементы финансовой математики. Сложные проценты

Прочитав данную главу, вы будете знать:

• o декурсивный и антисипативный способы;
• o учет влияния инфляции.

Расчет стоимости предприятия (бизнеса), как и большинство экономических расчетов, основывается на вычислении процентов декурсивным или антисипативным (предварительным) способом и теории аннуитетов.

Проценты - это доход в различных формах от предоставления финансовых средств (капитала) в долг или инвестиций.

Процентная ставка - показатель, характеризующий величину дохода или интенсивность начисления процентов.

Коэффициент наращения - величина, показывающая соотношение наращенного первоначального капитала.

Период начисления - промежуток времени, по истечении которого начисляются проценты (получается доход). Период начисления может делиться на интервалы начисления.

Интервал начисления - минимальный период, по прошествии которого происходит начисление части процентов. Проценты могут начисляться в конце интервала начисления (декурсивный способ) или в начале (антисипативный или предварительный способ).

Декурсивный способ

Декурсивная процентная ставка (ссудный процент) - это отношение суммы дохода, начисленного за определенный период, к сумме, имеющейся на начало данного периода.

Когда после начисления дохода за период этот доход выплачивается, а в следующий период процентный доход начисляется на первоначальную сумму, тогда используется формулы начисления простых ставок ссудных процентов.

Если ввести обозначения:

i (%) - годовая ставка ссудного процента (income); i - относительная величина годовой ставки процентов; I - сумма процентных денег, выплачиваемых за период (год);

P - общая сумма процентных денег за весь период начисления;

Р - величина первоначальной денежной суммы (present value);

F - наращенная сумма (future value);

k n - коэффициент наращения;

п - количество периодов начисления (лет);

d - продолжительность периода начисления в днях;

К - продолжительность года в днях К = 365 (366), то декурсивная процентная ставка (i):

Отсюда (6.1)

Тогда коэффициент наращения:

Если интервал наращения меньше одного периода (года) , то

Определение величины наращенной суммы F (future value) называется компаундингом (compounding).

Пример. Кредит 25 000 руб. выдан на 3 года по простой ставке 12% годовых. Определить наращенную сумму.

По формуле (6.1):

Пример. Кредит 25 000 руб. выдан на 182 дня, год обыкновенный, по простой ставке процентов 12% годовых. Определить наращенную сумму.

По формуле (6.2):

Иногда возникает необходимость решить обратную задачу: определить величину первоначальной (текущей, приведенной) суммы Р (present value), зная, какой должна быть наращенная сумма F (future value):

Определение величины первоначальной (текущей, приведенной) суммы р (present value) называется дисконтированием (discounting).

Пример. Через 3 года необходимо иметь сумму 16 500 руб. Какую сумму в этом случае необходимо положить на депозит по простой ставке 12% годовых.

Преобразуя формулы 6.1-6.3, можно получить

Процентные ставки в разные периоды могут изменяться.

Если в течение различных периодов начисления п , п 2 ,..., n N , используются различные ставки процентов i 1 , i 2 ,..., i N , где N - общее количество периодов начисления, то сумма процентных денег в конце периодов начисления при ставке процентов i 1 :

где n 1 - количество периодов начисления при ставке процентов i 1 в конце периодов начисления при ставке процентов и т.д.

Тогда при JV-периодах начисления наращенная сумма (N - номер последнего периода) при любом :

где коэффициент наращения: (6.5)

Пример. Кредит в размере 250 000 руб. выдается на 2,5 года по простой ставке процентов. Процентная ставка за первый год i = 18%, а за каждое последующее полугодие она уменьшается на 1,5%. Определите коэффициент наращения и наращенную сумму.

По формуле (6.5): k n = 1 + 0,18 + 0,5 (0,165 + 0,15 + 0.135) = 1,405.

По формуле (6.4): F = 250 000 х 1,405 = 351 250 руб.

Обратная задача:

Если п к = 1, то , (6.7)

где коэффициент наращения:. (6.8)

Пример. Кредит в размере 250 000 руб. выдается на 5 лет по простой ставке процентов. Процентная ставка за первый год i

По формуле (6.8): k n = 1 + 0,18 + 0,165 + 0.15 + 0,135 + 0,12 = 1,75.

По формуле (6.7): F = 250 000 x 1,75 = 437 500 руб.

Когда после начисления дохода за период этот доход не выплачивается, а присоединяется к денежной сумме, имеющейся на начало этого периода (к сумме, создавшей этот доход), и в следующий период процентный доход начисляется на всю эту сумму, тогда используются формулы начисления сложных процентов.

Если к представленным обозначениям добавить:

i c - относительная величина годовой ставки сложных процентов;

k nc - коэффициент наращения в случае сложных процентов;

j - номинальная ставка сложных ссудных процентов, по которой вычисляется поинтервальная ставка сложных ссудных процентов, то за период начисления, равный году, наращенная сумма - составит: . За второй период (через год): и т.д.

Через п лет наращенная сумма составит:

где коэффициент наращения k nc равен:

Пример. Кредит 25 000 руб. выдан на 3 года по сложной ставке 12% годовых. Определите наращенную сумму.

По формуле (6.9)

Решая обратную задачу:

где - коэффициент дисконтирования.

Коэффициент дисконтирования - величина, обратная коэффициенту наращения:

Пример. Через 3 года необходимо иметь сумму 16 500 руб. Какую сумму в этом случае необходимо вложить на депозит по сложной ставке 12% годовых.

Сравнивая коэффициенты наращения, при начислении простых и сложных процентов видно, что при п > 1. Чем больше периодов начисления, тем больше различие в величине наращенной суммы при начислении сложных и простых процентов.

Можно определить другие параметры:

п не является целым числом, то коэффициент наращения можно представить в двух видах:

где п - не кратное целому числу периодов начисления сложных процентов;

где п = п ц + d - общее количество периодов (лет) начисления, состоящее из целых и нецелого периодов начисления; п п d - количество дней нецелых (неполного) периода начисления; К = 365 (366) - количество дней в году; i c - относительная величина годовой ставки сложных процентов.

Оба варианта правомочны, но дают разные значения из-за разной точности вычисления.

Пример. Кредит 25 000 руб. выдан на 3 года 6 месяцев по сложной ставке 12% годовых. Определите наращенную сумму.

• 1) F = 25 000 (1 + 0,12) 3,5 = 25 000 x 1,4868 = 37 170 руб.;
• 2) F = 25 000 (1 + 0,12) 3 (1 + (180: 365) 0,12) = 25 000 x 1,4049 x 1,0592 = 37 201 руб.

Величина годовой ставки сложных процентов i 1 , i 2 ,..., i N может быть разной в течение различных периодов начисления n 1 , n 2 ,..., n N .

Тогда наращенная сумма в конце первого периода (года) начисления:

Во втором периоде (через год):

В n-периоде (за п периодов (лет)):

Тогда коэффициент наращения:

Пример. Кредит в размере 250 000 руб. выдается на 5 лет по сложной ставке процентов. Процентная ставка за первый год i = 18%, а последующий год она уменьшается на 1,5%. Определите коэффициент наращения и наращенную сумму.

По формуле (6.14): k nc = (1 + 0,18)(1 + 0,165)(1 + 0,15)(1 + 0,135)(1 + 0,12) = 2,0096.

По формуле (6.13): F = 250 000 x 1,75 = 502 400 руб.

Обратная задача:

Если начисление сложных процентов производится поинтервально, т.е. несколько раз за период, то формула начисления за интервал

где j = i - номинальная ставка сложных ссудных процентов; т - количество интервалов начисления в периоде (поквартально, ежемесячно и т.д.).

Доход за интервал присоединяется к денежной сумме, имеющейся на начало этого интервала.

Тогда наращенная сумма при поинтервальном начислении за каждый период через п периодов (лет) составит

Кроме того, можно определить другие параметры:

Пример. Кредит 25 000 руб. выдан на п = 3 года по сложной ставке 12% годовых, выплата по полугодиям т = 2. Определите наращенную сумму.

По формуле (6/16) .

Если количество периодов начисления сложных процентов п не является целым числом, то коэффициент наращения можно представить в виде

где п п - количество целых (полных) периодов (лет) начисления; р - количество целых (полных) интервалов начисления, но меньше общего количества интервалов в периоде, т.е. р < m;d - количество дней начисления, но меньше количества дней в интервале начисления.

Пример. Кредит 25 000 руб. выдан на и =3 года 8 месяцев, 12 дней по сложной ставке 12% годовых, выплата по полугодиям т = = 2. Определите наращенную сумму.

Изучить формулу сложных процентов, сравнить графики зависимостей, выражающих простые и сложные проценты, способствовать формированию навыков решения практических задач по теме;

Воспитывать интерес к знаниям, способствовать профессиональному самоопределению.

Раздаточный материал : таблица «Коэффициенты наращения сложных процентов» (приложение 1), печатные формулы простых и сложных процентов, заготовка для графика.

Ход урока

Защита домашнего задания.

Простые проценты

Обязательная задача (текст заготовлен на доске). Предприятие располагает собственным капиталом в 100 млн. руб. и берет в банке взаймы под 10% годовых еще 50 млн. руб. Норма прибыли предприятия (рентабельность производства) составляет 30%. Чему равен доход предприятия за год работы?

Решение . 1) 100 + 50 = 150 млн. руб. - общий капитал;

2) 150·0,3 = 45 млн. руб. - полученная прибыль на 150 млн. руб.;

3) 50·0,1 = 5 млн. руб. - выплата за ссуду;

4) 45 – 5 = 40 млн. руб. - доход предприятия.

Ответ : 40 млн. руб.

Кроме обязательной задачи, учащимся было предложено творческое задание : составить задачи с использованием различных источников информации.

1. По итогам деятельности разреза «Нерюнгринский» за 2007 г.:

* Почва или порода, расположенные на поверхности месторождения полезного ископаемого, которые необходимо удалить для того, чтобы начать разрабатывать само месторождение.

Определить, на сколько процентов перевыполнен план.

2. По работе системы образования (по материалам газеты «Час досуга»). На 01.09.2007 года в школах Нерюнгринского района 10,5% педагогов имели высшую категорию и 32,5% имели 1-ю категорию.

Вычислим, какой процент учителей нашей школы имеет высшую, а какой - 1-ю категорию. Сравним с данными по району.

Всего в СОШ № 18 - 65 педагогов.

7: 65·100 = 10,7%.

15: 65·100 = 23,1%.

Получается, что в нашей школе преподавателей высшей категории примерно столько же, сколько в среднем по району, а учителей 1-й категории меньше, чем в районе.

3. Работа администрации города с письмами граждан. В газете «Индустрия Севера» за 16 января 2007 года помещен материал о пресс-конференции главы муниципального образования «Нерюнгринский район» В.В. Старцева с представителями городских и республиканских СМИ, в котором, в частности, сказано: «За минувший год к главе администрации поступило 681 письменное обращение. Все они рассмотрены, 50% решены положительно, в 175 случаях отказано, по 138 дано разъяснение. По поводу зарплаты в 2006 г. к главе обращались 32 раза, а в 2007-м - 21 раз». Выясним, на сколько процентов обращений к главе администрации по поводу зарплаты в 2006 г. было больше, чем в 2007 г.?

Решение . 32 - число обращений в 2006 году (В ); 21 - число обращений в 2007 году (А ). Найти, на сколько процентов В больше А .

Воспользуемся формулой

Итак, в 2006 г. к главе администрации поступило на 52,4% обращений больше, чем в 2007 г.

Сложные проценты

Почему в 2007 году писем по поводу заработной платы в администрацию города поступило на 53% меньше, чем в 2006 году?

(Учащиеся выдвигают предположения. )

Каждое высказанное предположение может быть верным, а может быть и ложным. Для того чтобы узнать истинную причину, нам, видимо, на данный момент недостаточно информации. Чтобы полностью владеть ситуацией, необходимо быть хорошо информированным по существу вопроса.

На предыдущих занятиях мы с вами рассматривали задачи на проценты, задачи на простые проценты, но этим не исчерпывается применение процентов в экономике, и сегодня мы расширяем свои знания в этой области. Тема нашего занятия: «Сложные проценты».

Рассмотрим задачу .

Пусть банк выплачивает по сберегательному вкладу простые проценты по ставке i в год, причем эта ставка остается неизменной в течение двух лет. Как выгоднее поступить вкладчику?

Вспомним формулу вычисления простых процентов:

S n = S 0 (1 + in )

1 + in = Q ,

где Q - коэффициент наращения по простым процентам.

1-й способ . Если вкладчик закроет счет через год, то он получит сумму

S 1 = S 0 (1 + i ).

Допустим, что он положит эту сумму еще на один год на тех же условиях, тогда он получит:

S 2 = S 1 (1 + i ) = S 0 (1+ i ) 2 .

2-й способ . Если он не переоформит свой вклад, то согласно формуле простых процентов получит за два года:

S 2 = S 0 (1 + 2 i ).

Равны ли эти суммы? Сравним их:

S 0 (1 + i ) 2 – S 0 (1 + 2i ) = S 0 (1 + 2i + i 2 –1 – 2i ) = S 0 i 2 .

Так какой же способ выгоднее для вкладчика?

Первый способ, так как вкладчик получает при этом на S 0 i 2 больше.

Величина S 0 i 2 - приращение на проценты, полученные за первый год, или так называемые «проценты на проценты».

Чтобы предотвратить частое переоформление вкладов и для поощрения долгосрочных вкладов, в коммерческой практике принято выплачивать сложные проценты. Исходная сумма, или база (S 0), для начисления сложных процентов увеличивается с каждым периодом начисления (в нашей задаче это 1 год), а для простых процентов база постоянна.

Запишем в словари.

Капитализацией процентов называется присоединение начисленных процентов к сумме, являющейся базой для их начисления.

Выведем формулу расчета наращенной суммы S n с годовой процентной ставкой i при условии, что проценты начисляются и капитализируются один раз в год.

(К доске вызывается ученик для вывода формулы.)

S 1 = S 0 + S 0 i = S 0 (1 + i );
S 2 = S 1 + S 1 i = S 1 (1 + i ) = S 0 (1 + i ) 2 ;
S 3 = S 0 (1 + i ) 3 ;
.. . . . . . . . . . . . .
S n = S 0 (1 + i ) n .

Мы получили формулу сложных процентов , где S n - наращенная сумма через n лет,

S 0 - базовая сумма,

i - процентная ставка по сложным процентам,

n - число периодов наращения.

Эта формула является геометрической прогрессией со знаменателем q = 1 + i .

Пример 1. Вы положили в банк 10 тыс. руб. на срочный вклад при сложной процентной ставке 10% годовых. Сколько денег вы получите через два года?

Дано : S 0 = 10 000 руб., i = 0,1, n = 2.

Найти : S 2 .

Решение . S 2 = S 0 (1 + i ) 2 ;

S 2 = 10 000(1 + 0,1) 2 = 10 000·1,21 =12 100 руб.

Ответ : 12 100 руб.

Для начисления сложных процентов в банках используют «Таблицы коэффициентов наращения по сложным процентам», рассмотрим их (таблицы имеются на столах у учащихся; см. образец).

Найдем отношение

где Q c - коэффициент наращения по сложным процентам; тогда

S n = S 0 Q c .

Пример 2 . Назовите по таблице коэффициент наращения по ставке:

а) 15% годовых для n = 4 [Q c = 1,7490];

б) 8% годовых для n =5 [Q c = 1,4693].

Решение . 1) Найдем Q с по таблице: Q c = 1,2567:

15 000·1,2597 = 18 895,5 руб.

2) Найдем Q с по таблице: Q c = 1,4693;

15 000·1,4693 = 22 039,5 руб.

Самостоятельная работа с последующей самопроверкой

Заполните таблицу (столбец S n закрыт до самопроверки):

Графики коэффициентов наращения по простым и сложным процентам

Сравните коэффициенты наращения по простым и сложным процентам при i = 18% годовых. Заполните таблицу и постройте график зависимости Q и Q с от n. (Учащиеся работают в парах. )

Какой совет вкладчикам банка вы можете дать, проанализировав взаимное расположение графиков?

Наращение по сложным процентам выгоднее для вкладчиков.

Пример из классической литературы

Михаил Евграфович Салтыков-Щедрин описывает в романе «Господа Голавлевы» такую сцену: «Порфирий Владимирович сидит у себя в кабинете, исписывая цифирными выкладками листы бумаги. На этот раз его занимает вопрос: сколько было бы у него теперь денег, если бы маменька подаренные ему при рождении дедушкой “на зубок” 100 рублей не присвоила себе, а положила в ломбард на имя малолетнего Порфирия? Выходит, однако, немного: всего 800 рублей...»

Задание . Попробуйте по приведенным цифрам вычислить процентную ставку, которую платил ломбард в то время по вкладам. Возраст Порфирия в момент расчетов примем равным пятидесяти годам.

Решение . Пусть ставка равна x %, тогда

S 50 =100(1 + x ), 800 =100(1 + x ) n , x ≈ 3,9.

Итак, в то время ломбард платил 3,9% годовых.

Задание на дом

Что выгоднее: заплатить за учебу в вузе 10 000 у.е. в начале обучения или 15 000 у.е. по окончании учебы (через 5 лет). Процентная ставка равна 10% годовых.

Практическое задание . Посетите операционный зал сбербанка и выпишите:

Виды вкладов;

Годовые процентные ставки по ним;

Срок наращения;

Минимальный взнос.

Составьте задачу и решите ее.

Приложение 1

Коэффициенты наращения сложных процентов

Тема: Математические основы финансового менеджмента

Вопросы:

Способы начисления процентов

Сущность простых и сложных процентов

Методы оценки аннуитетов

Ответы:

1.Способы начисления процентов

Процента – это доход от предоставления капитала в долг в различных формах либо от инвестиций производственного или финансового характера.

Наращение первоначальной суммы долга – это увеличение суммы долга за счёт присоединения начисленных процентов (дохода).

Коэффициент наращения – это величина, показывающая во сколько раз вырос первоначальный капитал.

Период начисления – это промежуток времени, за который начисляются проценты.

Существует 2 способа определения и начисления процентов:

Дискурсивный способ начисления процентов – проценты начисляются в конце каждого интервала, хи величина определяется исходя из величины предоставляемого капитала, дискурсивная процентная ставка представляет собой выраженное в процентах отношение суммы начисленного, за определённый интервал, дохода к сумме, имеющейся на начало данного интервала.

Антисипотивный способ начисления процентов – проценты начисляются в начале каждого интервала, сумма процентных денег определяется исходя из наращенной сумме. Процентной ставкой будет, выраженное в процентах отношение суммы дохода, выплачиваемого за определённый период к величине наращённое суммы, полученной по прошествии этого интервала.

В мировой практике дискурсивный способ наращения процентов получил наибольшее распространение, а антисипотивный способ наращения процентов рассматривается как банковское дисконтирования или банковский учёт векселей, и обычно применяется в периоды высоких темпов инфляции.

2.Сущность простых и сложных процентов

Известны 2 основные схемы дискретного начисления процентов:

Схема простых процентов предполагает неизменность базы с которой происходит исчисление. Процесс дисконтирования по схеме простых процентов определяется по формуле:

Схема сложных процентов предполагает изменность за счёт капитализации процентов начисленных но не выплаченных к основной сумме. Наращение сложных процентов:

Мультиплицирующий множитель в процессе наращения для определения бедующей стоимости, его значения табулированы.

Процесс в котором заданы исходная сумма и ставка называется процессом наращения, искомая величина – наращенной суммой, а используемая в операции ставка – ставкой наращения.

Процесс в котором заданы ожидаемая в будущем к получению сумма и ставка называется процессом дисконтирования , искомая величина – приведённой суммой , а используемая в операции ставка – ставкой дисконтирования.

Процесс дисконтирования по простым процента осуществляется по формуле:

Процесс дисконтирования по схеме сложных процентов осуществляется по формуле:

Дисконтирующий множитель ля определения настоящей суммы, его значения табулированы.

4.Методы оценки аннуитетов

Поток однонаправленных платежей с равными интервалами между последовательными платежами в течении определённого количества лет называется аннуитетом (финансовой рентой).

Примеры аннуитетов: пенсионный фонд, погашение заёмщиком кредита.

Оценка денежного потока может выполняться в рамках решения задач:

Прямой – т.е. производится оценка с позиции будущего и реализуется схема наращения (Схема наращения аннуитета постнумерандо.

А-сумма аннуитета

FM3(i;n) – мультиплицирующий множитель для аннуитета в процессе наращения, значения так же табулированы

Схема наращения для аннуитета пренумеранда реализуется по формуле

FV=A*FM3(i;n)*(1+i)

Обратной, т.е. проводится оценка с позиции настоящего, реализуется схема дисконтирования.

Процесс дисконтирования для аннуитета постнумеранда осуществляется по формуле

A*FM4(i;n) –дисконтирующий множитель для аннуитета, его значения так же табулированы.

Процент дисконтирования для пренумерендо: =A*FM4(i;n)*(1+i)

В случае когда требуется оценить интегральный эффект какой-либо операции по наращению со сложной внутренней структурой (изменение значения ставок, периодов начисления процентов и прочее) удобно использовать понятие эффективной ставки. Принято, что эффективная ставка j является сложной.

Так, например, определим эффективную ставку для операции представляющей собой случай неоднократного начисления процентов за период, на котором определена ставка начисления (3.5). Приравняв выражения для получения результатов наращения для рассматриваемой операции (3.5) и выражение для наращенной суммы для сложных процентов (3.1), полагая фигурирующую в (3.1) ставку эффективной j,

S = P ´ (1 + j ) n = P ´ (1 + i c /m ) m ´ n ,

т.е. приводящей к такому же результату наращения. Ее величина определяется для данного примера выражением

j = (1 + i c /m ) m ´ n – 1.

Следует отметить, что данное выражение для значения эффективной ставки наращения сложных процентов справедливо только для рассмотренного случая (m раз начисления сложных процентов на периоде), а в каждом ином случае, при определении эффективной ставки для другой финансовой операции выражение для ее определения будет другим.

В общем случае, для произвольной финансовой операции выражение для определения эффективной ставки начисления сложных процентов имеет вид

j = (S /P ) 1/n – 1, (3.9)

P – исходная сумма рассматриваемой операции наращения;

S – результирующая сумма рассматриваемой операции наращения, величина n ´ T определяет срок рассматриваемой операции наращения;

n – количество периодов T рассматриваемой операции наращения;

T – период на котором определена эффективная ставка j .

Выражением (3.9) удобно пользоваться для общей оценки эффективности различного рода финансовых операций, для которых подробности и детали их проведения остаются недоступны, то есть оценка в режиме «черного ящика». Формула (3.9) требует только входных данных (P ) и результирующих данных (S ) при этом определяется основной параметр оценки финансовых операций – эффективная ставка, характеризующая доходность данной операции.

ПРИМЕР 1. Определить эффективную ставку работы предприятия вложившего в бизнес 150 000 руб. и получившее отдачу от вложения в размере 250 000 руб. через два года.

Решение : Исходная сумма средств Р = 150 000 руб., наращенная сумма S = 250 000 руб. срок n = 2 года. Воспользуемся выражением (3.9) j = (250 000/150 000) 1/2 – 1 = 1,29 – 1 = 0,29 (j = 29%).

ПРИМЕР 2. Определить эффективную ставку для пятилетнего депозита, на втором году которого простая ставка 10% увеличивается в два раза.

Решение : Первоначальную сумму обозначим как P . Наращенная сумма за пять лет S = P + I 1 + I 2 = P (1 + 0,1 ´ 2 + 0,2 ´ 3). Тогда j = (P (1 + 0,1 ´ 2 + 0,2 ´ 3)/P ) 1/5 – 1 = 1,0985 – 1 = 0,0985 (j = 8,95%).

ПРИМЕР 3. Определить эффективную ставку операции покупки векселя за четыре года до погашения, с простой учетной ставкой 10%.

Решение: Цена покупки в данном случае является исходной сумме P = S (1 – 0,1 ´ 4), S – номинал векселя – наращенная сумма. Тогда, согласно (3.9), эффективная ставка будет равна j = (S /S ´ (1 – 0,1 ´ 4)) 1/4 – 1 = 0,1362 (j = 13,62%).

Упражнения

1. Найти величину депозита в 14 000 руб. при ставке сложных процентов i c = 10% за 6 лет? Овет:24 801,85 руб.

2. При какой ставке сложных процентов i c деньги удваиваются через 12 лет? Овет: 5,94%.

3. Чему равно значение сложной процентной ставки, если 10 млн руб. возросли до 25 млн руб. за 7 лет? Овет: 25,84%.

4. При заданной ставке сложных процентов 10 млн руб. прирастают до 15 млн руб. за 10 лет. Какой будет наращенная сумма в конце 6 года? Овет:12754245,01 руб.

5. Облигация стоит 1 875 руб. и по ней выплачивается 2 500 руб. через 8 лет. Какая ставка сложных процентов обеспечит этот рост? Овет: 3,66%.

6. Найти годовую эффективную процентную ставку (норму), соответствующую ставке1,5%, при ежемесячной капитализации процентов. Овет:1,51%.

7. Сумма денег инвестируется при ставке i c = 10%на один год с квартальной капитализацией. Какая ставка простых процентов накопила бы такую же сумму в конце первого года? Овет: 10,38%.

8. 10 млн руб. инвестируются на 5 лет при норме i c = 5% с ежегодным увеличением процентной ставки на 0,5%. Какая эффективная ставка j накопит равную сумму за то же самое время? Овет:5,99%.

9. Клиент поместил на депозитный счет 1 000 000 руб. на 3 года при ставке сложных процентов 1,7% годовых. Определить доход от капитализации процентов к концу срока. Овет:870 руб.

10. Предприятие оформляет кредитный договор с банком на сумму 3 000 000 руб. на срок с 5.01.2003 г. до 20.03.2005 г. при ставке сложных процентов 15% годовых. Смешанным способом рассчитать проценты за пользование кредитом, используя схему 365/365. Ответ: 1059965,55 руб.

11. Предприятие оформляет кредитный договор с банком на сумму 6 700 000 руб. на срок с 15.06.2004 г. до 23.09.2005 г. при ставке сложных процентов 5% годовых с ежеквартальным начислением. Рассчитать проценты, начисленные за предоставление кредита, используя схему 365/360. Ответ: 444076 руб.

12. Выдан кредит на сумму 30 000 руб. сроком с 15.01.2005 г. до 20.03.2007 г. при ставке сложных процентов 12% годовых. Рассчитать коэффициент наращения, используя схему 360/360. Ответ: 1,27.

13. Банк выдал кредит 50 000 руб. В договоре в первые полгода указана сложная ставка 20% годовых, каждые полгода ставка увеличивается на 3%, срок договора 2 года. Определить наращенную сумму за весь срок кредита. Ответ: 77444,98 руб.

14. В кредитном договоре указана сложная ставка 20% годовых, каждые два года ставка увеличивается на 1,5%, срок договора 10 лет. Определить коэффициент наращения по операции. Ответ: 4,98.

15. По окончании договора, через 90 дней после его подписания должник уплатит 1 000 000 руб. Кредит был выдан под простую ставку 30% годовых. Какова величина кредита? Ответ: 931121,45 руб.

16. Что больше – доход от капитализации процентов или величина депозита при сложной ставке 19% за 8 лет? Ответ: больше доход от капитализации процентов.

1. Правило начисления процентных денег по сложной ставке наращения. Капитализация процентных денег.

2. Отличие в базе начисления простых и сложных процентов. Структура процентных денег при сложной ставке наращения.

3. Начисление процентных денег при изменении значения сложной ставки начисления. Коэффициент наращения.

4. Результаты наращения при начислении процентных денег m раз на периоде, где определена сложная ставка наращения.

5. Начисление по сложной ставке наращения за произвольный период времени.

6. Понятие эффективной ставки наращения. Сравнение темпов роста наращения по простой и сложной ставке наращения, в том числе, с m раз начислением на периоде.

Похожая информация.

Коэффициент дисконтирования позволяет определить, сколько стоит что-то из прошлого в настоящем или будет стоить в будущем. Стоит рассмотреть простой пример: предположим, вы получаете какую-то сумму на свой расчетный счет, потому что когда-то сделали удачное вложение и теперь получаете заслуженные дивиденды. Означает ли, что подлинная стоимость вклада в прошлом - это прибыль, получаемая в настоящий момент? Во многом. Но не все так неоднозначно, ведь следует еще оценить риски, которыми сопровождалась эта инвестиция, а они есть всегда.

Однако случаются ситуации, когда на вопрос о будущей или настоящей стоимости какого-либо действия (ренты или актива) в прошлом требуется ответить сейчас. Четко, конкретно, в цифрах. Пример такой необходимости - обоснование заявки на кредитование в банке. Один доллар сегодня - это меньше, чем один доллар завтра. И когда финансовый институт будет одобрять ссуду, он хотел бы видеть, что заемщик понимает это. Поэтому при кредитовании какого-либо проекта непременно требуется осуществить расчет приведенных потоков денежных средств различной природы: как выручки, так и издержек.

Но применение процедуры дисконтирования осуществляется не только банками. Во многом это необходимо самим предпринимателям в процессе планирования для того, чтобы не допускать фатальных ошибок с рентабельностью бизнес-процессов. Отчасти поэтому коэффициент дисконтирования иногда называют подлинной стоимостью ренты. Разобраться в процессе расчета и экономическом смысле получаемых результатов предлагается на страницах этой статьи.

Природа ставки дисконтирования: стоимость времени

Время - деньги. Верно, хоть и не тождественно. У этого закона есть логически выверенное обоснование, лежащее в плоскости экономики. Речь идет о возможности создания благ, имеющих рыночную оценку. Допустим, человек, имеющий в кармане 10 долларов, приобретает на эти деньги какой-либо пользующийся спросом товар - например, яблоки. Далее следует их перепродажа с наценкой, предположим, в 10%. Вся операция у него занимает 1 день. Тогда на начало следующего дня у человека будет уже 11 долларов, а стоимость одного дня времени у него будет равна 1 доллару.

Именно сама возможность использовать деньги для создания добавленной стоимости и рождает природу процента за их использование. С наступлением времени, когда рынки (в т.ч. финансовые) стали работать по правилам, процент по кредитам, выдаваемым банками, стал отражать фактическую возможность и размер заработка в экономике.

И отсюда следует, что процент, как заработок, можно рассмотреть в двух проекциях:

1. бухгалтерский (фактический) процент. Это та величина, которая прописывается в кредитном договоре.
2. экономический процент (экономическая прибыль). Это превышение фактического процента над доходностью лучшей из альтернатив вложения этих же средств.

Это проще понять, если встать на позиции кредитного института (банка), ссужающего средства. По кредиту этот институт взимает фактический процент. Но если есть некий коммерческий проект, куда можно вложить те же деньги, вместо того, чтобы выдавать их по договору кредитования. Тогда экономический процент для банка будет рассчитываться, как разница между тем процентом, который идет по кредитному соглашению, и доходностью альтернативного проекта.

Если бухгалтерский процент всегда положительный, то экономический - далеко не всегда. Положительное значение экономического процента свидетельствует, что банк (или любое другое предприятие на его месте) наиболее рационально выбрал сферу предпринимательской активности. (Раз уж самая лучшая альтернатива менее доходна, чем профильная деятельность).

Конкретный пример: начиная с 1995 года внутренние государственные облигации РФ (ГКО) демонстрировали чудеса доходности. При 100% надежности (согласно теории) они выдавали 50%, 60% и даже 85% доходность по году (при инфляции, не превышавшей 24% годовых). Многие предприятия в стране фактически прекратили свою профильную деятельность, переведя свои оборотные средства на финансовый рынок, непрерывно прокручивая их с помощью ГКО. Особо догадливые одновременно с пулом облигаций приобретали фьючерс на валюту, чтобы захеджировать риски дефолта. Кризис 1998 года каждый переживал, как мог, но в предшествующие 3 года в стране наблюдался эффект замещения, когда сверхдоходность государственного долга, словно пылесосом вытягивала деньги из экономики. Экономический процент по любой деятельности в стране тогда был отрицательным.

Не случайно приводится пример, связанный с доходностью именно государственных облигаций. Кроме функций покрытия дефицита госбюджета они являются действенным инструментом, позволяющим властям регулировать норму прибыли в экономике. Доходность облигаций именуется ставкой процента. В здоровой ситуации, когда рынки максимально эффективны, фактическая прибыльность в различных отраслях равна ставке процента, т.е. экономический процент равен 0.

Таковой на конец 2016 года была признана ситуация на европейском рынке. Процентная ставка Европейского центрального банка с 10.03.2016г. равнялась 0%. Одновременно с этим многие крупные известные производители Германии, Италии и Франции заканчивали год также с нулевой экономической прибылью. Отсюда вывод - не всегда нулевой экономический результат говорит о низком качестве управления бизнесом. Иногда это свидетельство высокой эффективности рынков.

Обоснование теоретической и практической актуальности процентной ставки в экономике имеет здесь свои причины. Допустим, по каким-то причинам индивиду потребовалось узнать, какой бы капитал он имел бы сейчас, если бы 3 года назад продал свою квартиру. Если рассматривать вложения в гипотетический бизнес, или же вклады в различные банки и другие способы, то можно уйти весьма далеко от объективности. Все эти вложения имеют высокий риск (можно вообще все потерять). Именно поэтому принято брать в расчет процентную ставку по тем обязательствам, которые гарантированы финансовой мощью государства. Этот процент и будет стоимостью потраченного времени, и именно он является нормативом ставки дисконтирования.

Теперь немного математики. Во всех описанных выше примерах приводилось обоснование выбора той или иной нормы процента. А сейчас нам нужно произвести четкие расчеты. В этом нам поможет коэффициент дисконтирования.

Определение: коэффициент дисконтирования - это показатель, применяемый для приведения величины некой денежной величины к заданному моменту (называемому моментом приведения).

Этот показатель наглядно демонстрирует, какую сумму мы получим с учетом фактора времени (т.е. через определенный период), исходя из заданной ставки дисконтирования. Последний термин, согласно изложенному в предыдущем разделе, соответствует процентной ставке по обязательствам, гарантированным государством. Формула коэффициента дисконтирования такова:

n

Любопытен смысл показателя n. Здесь не ошибиться гораздо важнее, чем с определением корректной величины ставки дисконтирования. N говорит нам, сколько раз мы можем реинвестировать получаемые результаты деятельности (т.е. потенциально зарабатываемую прибыль).

Допустим, начинающий рантье 3 года назад приобрел загородный дом. Он помнит сумму сделки, а главное, отслеживает его текущую рыночную стоимость. И он бы хотел оценить эффективность своего вложения. Сделаем ряд допущений: предположим, дом был куплен за $1 000 000, сейчас стоит $1 200 000, ставка процента все три года оставалась на уровне 15% (по годовым депозитам в государственном банке). Тогда его расчеты будут выглядеть следующим образом:

• Рассчитываем коэффициент дисконтирования:

1 / (1 + 0,15) 3 = 0,572

• Умножаем текущую стоимость дома на коэффициент дисконтирования:

1 200 000 * 0,572 = 686 400

• Сравниваем эту дисконтированную стоимость с ценой покупки:

686 400 << 1 000 000

Это означает, что рантье прогадал. Если бы он не вложил 1 000 000 в недвижимость, а положил бы эти деньги на депозит, то на настоящим момент мог бы и дом купить, и осталось бы еще немало (т.к. для покупки дома за 1 200 000 сегодня нужно было 3 года назад положить на депозит только 686 400).

Коэффициент наращения

Но вышеприведенная формула годится не только для фиксации текущих результатов ошибок прошлого. Зачастую нам более интересен расчет, сколько нам может в будущем принести то или иное вложение, совершаемое сейчас. В этом случае принято говорить о коэффициенте наращения. Его формула:

(1 + Ставка наращения)n

n - количество инвестиционных периодов до момента приведения.

И здесь для понимания опять поможет наш пример с яблоками. Человек совершал полный цикл за 1 день. Для простоты допустим, что за тот же самый 1 день он сможет купить или продать любое количество яблок: хоть 10, хоть 1000, хоть 1000000. Тогда, регулярно совершая свои операции и имея прибыльность по ним в размере 10%, при стартовом капитале в 10 долларов человек через год зафиксирует капитал в размере:

$10 * (1+0,1) 365 = $12833055803133800

Чудовищная сумма! Однако она понимает осознать, насколько важен показатель реинвестиционных возможностей (в разах).

Ну какой должна быть норма процента годовых, чтобы обеспечить сходный доход. Не нужно считать, чтобы понять - процент будет фантастическим, запредельным. Конечно, в реальной жизни оборот займет гораздо более долгий срок. И чем больше будет яблок, тем сложнее станет их продавать. Да и 10% маржа неизбежно пойдет вниз (раз предложение станет увеличиваться). Однако этот пример приведен здесь для того, чтобы продемонстрировать превалирование важности сроков рекапитализации над значением статического процента. Уж если и торговаться, то за возможность уменьшения сроков реинвестирования.

Net Present Value

В мире финансов постоянно складываются ситуации, когда результат какого-то действия сильно разнесен по времени (и не важно, в прошлом ли, настоящем или даже в будущем). Тем не менее, этот результат нужно каким-то образом привести к единой цифре, чтобы, например, иметь возможность сравнения. А если речь идет о прибыли, которая фиксировалась на расчетном счету компании раз в месяц на протяжении пяти лет - как нам привести все к единой цифре? Просто для того, чтобы сравнить эту цифру с первоначальными вложениями и определить эффективность бизнеса.

В этом случае речь идет о высчитывании Net Present Value (NPV) или Чистый Дисконтированный Доход (ЧДД) (а также Чистая Приведённая Стоимость или даже Чистая Текущая Стоимость). Это сумма дисконтированных значений потока платежей, приведённых к какому-то дню в прошлом. Этот день в прошлом, как правило, и есть день, когда производилось вложение. Как очевидно следует из определения, NPV рассчитывается при осуществлении процедуры планирования. В частности, при составлении бизнес-планов.

Для получения этого значения мы должны дисконтировать все составляющие денежного потока (в нашем случае - ежемесячные показатели прибыли) и дисконтировать каждый из них по формуле:

1 / (1 + Ставка дисконтирования)n

Далее суммируем полученные результаты и из этой суммы вычитаем величину первоначальных вложений. Получившийся показатель NPV - это разность между всеми денежными поступлениями и тратами, приведёнными к моменту инвестирования. Фактически, это размер денежных средств, которые предприниматель ожидает получить от своего бизнеса, после истечения заданного промежутка времени.

В действительности мы получаем размер экономической прибыли (ЭП). Соотнеся ее с первоначальными инвестициями (ПИ), рассчитываем величину экономического процента (доходности) (ЭД):

ЭД = ЭП / ПИ *100%

Это реальная отдача от проекта - то, насколько доходность именно этого бизнеса превышает общий по экономике уровень.

Рента, состоящая из финансовых поступлений, оценивается единой суммой, в расчет которой входит временная стоимость всех ее составляющих. Таким образом, NPV допустимо интерпретировать как реальную добавочную стоимость, образующуюся в результате предпринимательской деятельности (какова бы ни была сфера деятельности).

Конечно же, здесь крайне важно правильно выбрать ставку дисконтирования. Выше обосновывался ее выбор на уровне процента по обязательствам, гарантированным государством. Но это не всегда бывает верно, и пример дефолта 1998 года это подтверждает. Не смотря на то, что это были государственные облигации, пирамида рухнула и очень многие потеряли все свои вложения. Корректно ли тогда при расчетах было бы использовать заоблачные 60% реальной доходности по ГКО? Конечно же, нет. Здесь нельзя успокаиваться, если в названии ценных бумаг присутствует слово «государственные». Ключ ко всему - правильная оценка рисков. Для индикатива нам нужна доходность, соответствующая минимальному риску (в идеале - нулевому). В случае с агрессивными заимствованиями с помощью ГКО риск дефолта был крайне высок и просматривался уже, начиная с 1996 года.

Внутренняя норма доходности

Внутренняя норма доходности (internal rate of return — IRR) — это процентная ставка, которая задействуется при расчете NPV.

IRR имеет непосредственное отношение к приведенному выше примеру. Теперь при обосновании чистой приведенной стоимости в бизнес-плане не нужно дотошно привязывать прибыльную ренту к ставке по гос. облигациям. Достаточно заявить некую норму IRR и обосновать ее выбор двумя аргументами:

1. Приведя пример сферы деятельности, обладающей меньшей доходностью и меньшим же риском;
2. Упомянув другую деятельность (но похожую по своей инвестиционной сути), но с большим риском и большей доходностью.

Однако IRR «подбирается» не только и не столько для возможных кредиторов. Прежде всего, внутренняя норма доходности - цель и ориентир для собственников бизнеса. Это ставка, относительно которой будут в дальнейшем меряться все процессы даже в окружающей бизнес-среде. И решение об инвестировании в некую другую отрасль будет приниматься после непременного сравнения доходности предполагаемого проекта с IRR существующего предприятия.

Это верно не только для предприятий, но и для частных лиц. Только в этом случае под инвестированием, как правило, понимается вклад в какую-либо обслуживающую финансовую организацию (будь то банк, брокерская компания или венчурный фонд). А в качестве внутренней нормы доходности используются ставка процента по существующему депозиту (например) в проверенном временем надежном банке.

Ставка IRR - это мерило многих процессов в жизни. На самом деле абсолютно все без исключения индивиды имеют свою IRR! В конце концов, это то, к чему хочется стремиться. Поэтому так важно выбрать корректный ее уровень. Ведь слишком большое значение показателя может привести к завышенным ожиданиям как в бизнесе, так и в жизни, а заниженное - к фатальной недооценке собственных возможностей.