Определение стоимости аннуитетов.

Аннуитет, в большинстве случаев, является набором одинаковых денежных потоков, возникающих через равные промежутки времени. При этом будущая стоимость аннуитета будет зависеть от того, в начале или в конце каждого периода будет возникать денежный поток. Если денежный поток возникает в начале каждого периода, то такой аннуитет называют «пренумерандо », если в конце каждого периода – «постнумерандо ». Чтобы лучше разобраться в ситуации, рассмотрим ее на примере.

Рассмотрим простейший аннуитет, когда инвестор планирует ежегодно размещать на срочный депозит по 1000 у.е. под 5% годовых в течении 5 лет. Рассчитаем будущую стоимость этого аннуитета, рассмотрев вариант внесения первой суммы в начале и в конце первого периода.

Если инвестор будет вносить деньги в начале каждого периода (аннуитет пренумерандо

Будущую стоимость каждого денежного потока можно рассчитать, воспользовавшись следующей формулой.

N – количество периодов.

Настоящая стоимость каждого денежного потока составит.

FV 1 = 1000/(1+0,05) 5 = 1276,28 у.е.

FV 2 = 1000/(1+0,05) 4 = 1215,51 у.е.

FV 3 = 1000/(1+0,05) 3 = 1157,63 у.е.

FV 4 = 1000/(1+0,05) 2 = 1102,50 у.е.

FV 5 = 1000/(1+0,05) 1 = 1050 у.е.

Первый денежный поток, внесенный в 0 точке, будет размещен на депозит на все 5 лет, второй - на 4 года и т.д. Таким образом, будущая стоимость аннуитета будет равна сумме всех пяти денежных потоков 5801,91 у.е.

FVA = 1276,28+1215,51+1157,63+1102,50+1050=5801,91 у.е.

где A – размер платежа;

i – процентная ставка за период;

N – количество периодов.

Подставив данные из приведенного выше примера в формулу мы получим 5801,91 у.е.

Если инвестор будет вносить средства в конце каждого периода (аннуитет постнумерандо), то будущая стоимость всех денежных потоков схематически будет выглядеть следующим образом.

В этом случае первый платеж будет внесен в 1-ой точке и будет размещен на депозит на 4 года, второй платеж – на 3 года и т.д. При этом последний платеж будет внесен в конце 5-го года и проценты на него начислены не будут.

Таким образом, настоящая стоимость каждого денежного потока составит.

FV 1 = 1000/(1+0,05) 4 = 1215,51 у.е.

FV 2 = 1000/(1+0,05) 3 = 1157,63 у.е.

FV 3 = 1000/(1+0,05) 2 = 1102,50 у.е.

FV 4 = 1000/(1+0,05) 1 = 1050 у.е.

FV 5 = 1000/(1+0,05) 0 = 1000 у.е.

При этом будущая стоимость аннуитета будет равна сумме всех денежных потоков 5525,63 у.е.

FVA = 1215,51+1157,63+1102,50+1050+1000=5525,63 у.е.

Также будущую стоимость аннуитета постнумерандо можно рассчитать, воспользовавшись следующей формулой.

Подставив данные из нашего примера мы получим 5525,63 у.е., что подтверждается предыдущими расчетами.

Как показали приведенные выше расчеты, будущая стоимость аннуитета может существенно отличаться в зависимости от того, в начале или в конце периода будут осуществляться платежи. Например, арендодателю будет более выгодно получать авансовые платежи от арендатора . При этом арендатору выгоднее выплачивать арендный платеж в конце каждого месяца, а не в начале. Таким образом, этот фактор необходимо учитывать в финансовых расчетах при оценке имеющихся инвестиционных возможностей.

Текущая стоимость единицы

Текущая стоимость единицы - это величина, обратная накопленной сумме единицы. Это сегодняшняя стоимость единицы, которая должна быть получена в будущем.

Процесс определения текущей стоимости единицы (его также называют дисконтированием; не путать с дисконтом - скидкой!) аналогичен процессу накопления дохода от процентов, но имеет обратную направленность во времени: от будущего к настоящему. То есть мы определяем, сколько нужно сегодня вложить в приносящий периодический доход от процентов актив, чтобы в конкретный момент времени в будущем получить заранее заданную сумму. При определении текущей стоимости ставку процента, по которой начисляется периодический доход, чаще называют ставкой дисконтирования.

Функция текущей стоимости единицы дает возможность определить стоимость суммы в данный момент, если известна ее величина в будущем, число периодов и ставка процента.

PV - текущая стоимость;

FV - будущая стоимость;

i - ставка процента (ставка дисконтирования)

n - число периодов начисления процентов

Фактор текущей стоимости единицы в таблице показан в колонке 4.

При FV =1, формула имеет вид

Данный рисунок иллюстрирует известную будущую стоимость FV=1 в момент времени n. Требуется определить неизвестную текущую стоимость PV в нулевой момент времени, то есть на сегодняшний день.

При 10%-ой ставке процента текущая стоимость 100.000 долл., ожидаемых к получению через год, равна?

100.000 *0,909091=90909,1

Проверка:

Если сегодня инвестор вкладывает 90909,1 долл. и в течение следующего года может получить чистый доход в 10%, т. е. 9090,91, то через год его капитал будет составлять 100.000 долл. (90909,1+9090,91)

Вопросы для контроля

3. Какую сумму следует сегодня депонировать в банке, начисляющем 12% годовых при ежемесячном накоплении, для того, чтобы через 4 года получить 10.000 долл.?

10.000 *0,62026=6202,6

4. Сколько надо положить на счет в банке под 20% годовых, чтобы через десять лет купить квартиру за 120.000 долл.?

120.000 *0,161506=19380,72

Текущая стоимость аннуитета

Аннуитет - это денежный поток, в котором равные суммы выплачиваются через одинаковые промежутки времени. Различают аннуитет обычный и авансовый. Обычный - возникает в конце периода начисления процентов, а авансовый - в начале.

Текущая стоимость обычного аннуитета при заданной ставке дисконтирования может быть рассчитана путем оценки каждого платежа в отдельности. При этом сумма каждого платежа умножается на соответствующий фактор текущей стоимости единицы. Текущая стоимость аннуитета обозначается а(n,i).

На рисунке показано как несколько аннуитетных платежей, по отдельности равных 1, преобразуются в неизвестную величину текущей стоимости аннуитета на нулевой момент времени.

Ежегодный платеж по аренде составляет 300.000 долл. Ставка дисконтирования равна 10%. Какова текущая стоимость платежей за пять лет?

Текущая стоимость аннуитета равна

300000*3,7908=1137240 долл.

Авансовый аннуитет

Для того, чтобы фактор обычного аннуитета превратить в фактор авансового аннуитета, необходимо взять фактор обычного аннуитета для потока доходов, укороченного на один период, и добавить к нему единицу. При добавлении единицы учитывается первое поступление, которое не следует дисконтировать. При сокращении потока на один период во внимание принимается текущая стоимость остальных платежей.

Пример: На протяжении четырех лет уплачивается арендная плата в сумме 3.000 долл. Платеж осуществляется в начале каждого года. Ставка дисконта равна 15%. Определить текущую стоимость арендных платежей.

Решение: 3000*(2,28323+1) = 9849,69 долл.

Вопросы для контроля

5. Какова текущая стоимость ипотечного кредита, предусматривающего выплату 1000 долл. в конце каждого года на протяжении 5 лет? Ставка дисконта равна 10%

Ответ: 1000*3,79079=3790,79

6. Ежемесячные платежи по аренде поступают в начале каждого месяца в размере 5000 долл. Приемлемая годовая ставка дисконта - 15%. Какова текущая стоимость платежей за 8 месяцев?

Ответ: 5000*(6,66273+1) = 38313,65

Использование двух факторов

Доход, ожидаемый от собственности, часто состоит из двух частей:

1. поток доходов от текущей деятельности;

2. единовременная сумма от перепродажи актива.

Оценка инвестиционной привлекательности требует в ряде случаев дифференциации ставок дисконта в зависимости от уровня риска тех или иных операций. Учет различий в уровне риска требует от оценщика использования соответствующих ставок дисконта.

Пример: Владелец бензоколонки предполагает в течение пяти лет получать ежегодный доход в сумме 30.000 долл. В конце пятого года он планирует продать бензоколонку за 100.000 долл.

Прогнозирование доходов от эксплуатации собственности имеет большую степень точности, чем прогнозирование цены продажи, поэтому ставки дисконта равны соответственно 10% и 15%.

Определить текущую стоимость совокупного дохода от бензоколонки.

1. Текущая стоимость потока дохода от эксплуатации

30.000 *3,79079=113.723,7 долл.

2. Текущая стоимость дохода от продажи

100.000 *0,49718 = 49.718 долл.

3. Текущая стоимость совокупного дохода

113.723 ,7 + 49.718 = 162.441,7 долл.

Потоки доходов от собственности могут увеличиваться или уменьшаться. Оценка повышающихся или снижающихся потоков доходов с использованием сложного процента может быть проведена различными путями.

Пример: Аренда магазина принесет его владельцу в течение первых трех лет ежегодный доход в 750.000 долл. В последующие пять лет доход составит 950.000 долл. в год. Определить текущую стоимость совокупного дохода, если ставка дисконта равна 10%.

Вариант №1

В данном случае текущая стоимость совокупного дохода равна текущей стоимости потока доходов в 750.000 долл. за первые три года и потока доходов в 950.000 долл. за последующие пять лет.

1. Рассчитаем текущую стоимость арендных платежей за первые три года.

750.000 *2,48685 = 1.865.137 долл.

2. Определим текущую стоимость арендной платы за последующие пять лет. Фактор текущей стоимости аннуитета в этом случае будет равен разности факторов, соответствующих рыночному и начальному периоду возникновения измененной суммы арендной платы по отношению к текущему, т. е. нулевому периоду. Повышенная аренда поступала с конца третьего по конец восьмого периода, следовательно в расчетах должны быть использованы факторы - 2,48685 и 5,33493.

950.000 *(5,33493-2,48685)=2.705.676 долл.

3. Суммарная текущая стоимость арендной платы

1.865.137 + 2.705.676 = 4.570.813 долл.

Вариант №2

арендная плата

Текущая стоимость суммарного потока доходов равна разности потока доходов в 950.000 долл., полученного за все восемь лет, и несуществующего потока доходов в 200.000 долл. (950-750) за первые три года.

1. Рассчитаем текущую стоимость дохода от аренды, исходя из предположения, что все 8 лет она составляла ежегодно 950 тыс. долл.

950.000 *5,33493 = 5.068.184 долл.

2. Рассчитаем текущую стоимость завышенной суммы аренды, которая существовала три года.

200.000 *2,48685 = 497.370 долл.

Текущая стоимость арендной платы за 8 лет составляет

5.068.184 - 497.370 = 4.570.814 долл.

Вариант №3

арендная плата

Этот вариант решения предполагает, что текущая стоимость совокупного дохода равна сумме дохода в 750.000 долл. за восемь лет и превышения в 200.000 долл., достигнутого в последние пять лет аренды.

1. Рассчитаем текущую стоимость доходов от аренды в 750.000 долл. за восемь лет.

750.000 *5,33485 = 4.001.137 долл.

2. Рассчитаем текущую стоимость дополнительного дохода от аренды, полученного за последние пять лет.

200.000 *(5,33485-2,48685) = 569.600 долл.

3. Текущая стоимость полученной арендной платы

4.001.137 + 569.600 = 4.570.737 долл.

Если полученные результаты имеют некоторые расхождения, то это является следствием округлений, допускаемых при расчетах.

Вы обязуетесь в течение определённого срока выплачивать сумму взятого кредита и процентов по нему. Существует несколько способов погашения кредита, распространённый способ — это аннуитетные платежи . В этой статье мы рассмотрим, что такое аннуитетные платежи , узнаем формулу аннуитетного платежа и проведём расчёт.

В этой статье:

Аннуитетный и дифференцированный платёж

Аннуитет — это одинаковый по сумме ежемесячный платёж. То есть при аннуитетном платеже вы каждый месяц платите одинаковую сумму (кредит + проценты по нему) независимо от оставшейся суммы задолженности.

Другой способ погашения кредита — это дифференцированный платёж , то есть выплата процентов на оставшуюся задолженность. При дифференцированных платежах ваша сумма ежемесячных выплат будет уменьшаться к концу срока кредита, поскольку вы будете выплачивать проценты за кредит на оставшуюся сумму задолженности. Например, погасив 80% кредита, вы будете платить проценты за оставшуюся сумму (20%).

Для самих банков выгоднее применять аннуитетные платежи, поскольку в этом случае они получают больше прибыли по процентам. Заемщикам же аннуитетные платежи выгоднее в том плане, что удобнее каждый месяц платить одну и ту же сумму, чем каждый раз разную и уточнять, сколько же ему надо внести в следующий месяц.

Формула аннуитетного платежа

В соответствии с формулой аннуитетного платежа размер периодических (ежемесячных) выплат будет составлять:

A = K · S

где А — ежемесячный аннуитетный платёж,
К — коэффициент аннуитета,
S — сумма кредита.

Коэффициент аннуитета рассчитывается по следующей формуле:

где i — месячная процентная ставка по кредиту (= годовая ставка / 12),
n — количество периодов, в течение которых выплачивается кредит.

Поскольку периодичность платежей по кредиту — ежемесячно, то ставка по кредиту (i) берётся месячная. Если процентная ставка 12% годовых, то месячная ставка:
i = 12% / 12 мес = 1%.

С помощью приведённой выше формулы аннуитетного платежа вы можете узнать ежемесячную сумму, которую нужно платить, чтобы погасить кредит.

Расчет аннуитетного платежа

Приведём пример расчета аннуитетного платежа.
Допустим, вы взяли в банке кредит на сумму 30 000 рублей под 18% годовых сроком на 3 года.

Исходные данные:
S = 30 000 рублей
i = 1,5% (18% / 12 мес) = 0,015
n = 36 (3 года х 12 мес)

Подставляем эти значения в формулу и определяем коэффициент аннуитета:

В скобках формулы указывается по порядку: процентная ставка, количество месяцев, сумма кредита. Можно также записать так:

18% годовых / 12 месяцев / 100 = 0,015

В любом случае у нас сумма ежемесячных платежей получится 1084,57 рублей .

Под аннуитетом понимают возникающий через равные промежутки времени поток равных сумм средств.

С понятием аннуитета приходится сталкиваться довольно часто, хотя, как показывает практика, большинство людей даже не догадывается о его значении.

Примерами аннуитета являются РАВНЫЕ по размеру ежемесячные платежи по , аренды и , ежегодные взносы в накопительные программы, ежемесячные начисления по по правилам простых и т.п.

Скажем, если в конце каждого года вы получаете от одной конкретной в размере 1000 долл. в течение 10 лет, значит, вы имеете дело с аннуитетом.

Практическая ценность данного понятия заключается в том, что оно позволяет ПОТОКИ денежных средств, причем, главным образом, с точки зрения определения его стоимости.

О будущей стоимости инвестиций мы уже говорили на страницах нашего . Формула, с которой нам приходилось иметь дело, выглядела так:

S n = N*(1+k/100) n , где

S n – будущая стоимость инвестиции,

N – размер первоначального (инвестиции),

Расчет будущей стоимости аннуитета можно производить вручную, с помощью специальных таблиц либо посредством использования инвестиционных калькуляторов.

Теория стоимости денег во времени

По теории стоимости денег во времени одна денежная единица сегодня стоит дороже, чем полученная в будущем.

Весь период до появления будущих доходов денежная единица приносит прибыль или новую стоимость. Сумма денег приписываемая к определенному моменту времени называется денежными потоками. Основной операцией позволяющей сопоставить разновременные деньги являются операции накопления и дисконтирования.

Накопление – это процесс определения будущей стоимости.

Дисконтирование – это процесс приведения денежных поступлений от инвестиций к их текущей стоимости.

На этих двух операциях строится весь финансовый анализ, так как денежная единица рассматривается как капитал.

Задачи накопления наиболее наглядно показаны примерами из области кредитных отношений, при этом используется формула начисления сложного процента.

Одним из основных критериев является процентная ставка (i ) – это отношение чистого дохода к вложенному капиталу. В случае операции накопления – эта ставка называется ставкой дохода на капитал. При дисконтировании называется ставкой дисконта или ставкой дисконтирования.

Суммы денег, получаемые (отдаваемые) регулярно (ежемесячно, ежеквартально, ежегодно) называются аннуитетом - они бывают простые и авансовые, в зависимости от того, в конце или в начале периода они выплачиваются.

Риск – это неопределенность, связанная с инвестициями, т. е. вероятность того, что прогнозируемые доходы от инвестиций окажутся больше или меньше предполагаемых величин.

Финансовые расчеты могут основываться на простом и сложном проценте.

Простой процент – приращение дохода на вложенную сумму денег по единой процентной ставке в течение всего срока.

Сложный процент – приращение дохода на вложенную сумму денег по сумме остатка предыдущего периода времени в течение срока инвестиций или кредита.

Расчет простого процента:

Расчет сложного процента:

FV = PV × (1+ i ) n (2)

PV – текущая стоимость, руб (у.е.);

FV – будущая стоимость, руб (у.е.);

n – период (срок) вклада, лет (мес.).

Таблица 1 - Получение простого и сложного процента

Разница в расчетах по простому и сложному проценту заключается в том, что при простом проценте ставка начисляется каждый раз на первоначально – вложенный капитал, при сложном проценте каждое последующие начисление ставки осуществляется в предшествующий период суммы, т. е. идет начисления процента на процент.

Правило 72-х :

Применяется для примерного расчета количества лет, необходимых для увеличения денежной суммы в 2 раза:

n =72 / i (3)

Выделяют шесть функций сложного процента:

Накопленная сумма денежной единицы

Текущая стоимость единицы (реверсии)

Накопление денежной единицы за период

Фонд возмещения

Взнос на амортизацию единицы

Текущая стоимость аннуитета (платежа)

Теперь рассмотрим каждую функцию по отдельности.

Накопленная сумма денежной единицы

Экономический смысл – показывает, какая сумма будет накоплена на счете к концу определенного периода при заданной ставке дохода, если сегодня положить на счет одну денежную единицу.

При начислении процентов 1 раз в год:

FV = PV × (1+ i ) n (4)

При начислении процентов чаще, чем 1 раз в год:

FV = PV × (1+ i / k ) n × k (5)

i – ставка дисконта, %

n – период (срок) вклада, лет (месяц)

k – число начислений процентов в год

(1+ i ) n – фактор накопленной суммы единицы при ежегодном начислении процентов

(1+i/k) n * k – фактор накопленной суммы денежной единицы при начислении процентов чаще, чем раз в 1 год.

Задача 1: Определить какая сумма будет накоплена на счете к концу 28,5 года, если сегодня положить на счет, приносящий 26 % годовых, 4450 руб. Начисление процентов осуществляется в конце каждого полугодия.

FV = 4 450×(1+0,26/2) 28,5×2 = 4 718 796,94 руб.

Текущая стоимость единицы

Экономический смысл – показывает, какова при заданной ставке дисконта текущая стоимость одной денежной единицы, получаемой в конце определенного периода времени.

Определяется по формулам:

(6)

(7)

1/(1+ i ) n – фактор текущей стоимости единицы при ежегодном начислении процентов;

1/(1+ i / k ) n × k – фактор текущей стоимости единицы при более частом, чем 1 раз в год начислении процентов.

Задача 2: Определить текущую стоимость 3100 руб., которые будут получены в конце 9-го года при ставке дисконта 9%. Начисление процентов каждый день.

PV= 3 100×1/(1+0,09/365) 9×365 = 1 379,20 руб

Накопление денежной единицы за период

Экономический смысл – показывает, какая сумма будет накоплена на счете при заданной ставке, если регулярно в течение определенного срока откладывать на счет одну денежную единицу.

Будущая стоимость обычного аннуитета:

(8)

(9)

Будущая стоимость авансового аннуитета:

(10)

(11)

PMT – равновеликие периодические платежи, руб;

((1+ i ) n - 1) / i – фактор накопления денежной единицы за период

Задача 3: Определить сумму, которая будет накоплена на счете, приносящем 34 % годовых к концу 49 месяца, если ежемесячно откладывать на счет 6300 руб. платежи осуществляются: а) в начале месяца; б) в конце месяца.

а)

б)

Формирование фонда возмещения

Экономический смысл – показывает, сколько нужно откладывать на счет регулярно в течение определенного времени, чтобы при заданной ставке дохода иметь на счете к концу этого срока одну денежную единицу.

Определяется по формулам:

(12)

(13)

i / (1+ i ) n -1 – фактор фонда возмещения.

Задача 4: Определить, какими должны быть платежи, чтобы к концу 9-го года иметь на счете, приносящем 8% годовых, 78 000 руб. платежи осуществляются: а) в конце каждого полугодия; б) в конце каждого квартала.

а)

б)

Взнос на амортизацию

Экономический смысл – показывает, какими должны быть аннуитетные платежи в счет погашения кредита в одну денежную единицу, выданного при заданной процентной ставке на определенный срок.

Определяется по формулам:

(14)

(15)

–фактор взноса на амортизацию;

Задача 5: Кредит в размере 345 000 рублей выдан на 29 лет под 18% годовых. Определить размер аннуитетных платежей. Погашение кредита осуществляется в конце каждого месяца.

Текущая стоимость аннуитета

Экономический смысл – показывает, какова при заданной ставке дисконта текущая стоимость серии платежей в одну денежную единицу, поступающих в течение определенного срока.

Определяется по формулам:

1. Обычный аннуитет:

(16)

(17)

2. Авансовый аннуитет:

(18)

(19)

PV - настоящий платеж, руб;

PMT - регулярный периодический платеж, руб;

i – ставка дисконта, %;

k - количество начислений в год (период);

n – период (срок) вклада, лет (месяц);

–фактор текущей стоимости обычного аннуитета;

–фактор текущей стоимости авансового аннуитета

Задача 6: Договор аренды квартиры составлен на 24 месяца. Определить текущую стоимость арендных платежей при 8% ставке дисконтирования. Арендная плата 2550 руб / мес. При условиях:

а) Арендная плата выплачивается в начале квартала;

б) Арендная плата выплачивается в конце каждого квартала.

Решение:

а)

б)