Опишем основные известные способы учета отношения людей к риску . Пусть некоторому индивидууму предлагают вложить деньги с высокой доходностью, но и с высоким риском. Предположим, что p - вероятность неполучения дохода (доход равен нулю), (1 - p) - вероятность получения дохода x.

Ожидаемый доход составит, очевидно, Ex = (1 - p) x. Зададимся вопросом - какую сумму x0 индивидуум готов заплатить за участие в такой лотерее?

Принято условно разделять субъектов на три группы:

нейтральные к риску (risk-neutral) - готовые участвовать в лотерее за ожидаемый выигрыш, то есть х0 = (1 - p) х;

не склонные к риску (risk-averse) - готовые внести за участие в лотерее сумму строго меньшую ожидаемого дохода, то есть Xo склонные к риску - готовые участвовать в лотерее даже при условии, что ожидаемый выигрыш меньше их взноса, то есть Xo > (1 - p) х.

Примерные графики зависимости х0(х) для нейтральных, склонных и несклонных к риску людей приведены на рисунке 2.

Числовой характеристикой предпочтений людей на множестве альтернатив, зависящих от случайных величин, выступает полезность. Если обозначить: х - альтернативу (например, размер денеж-ного выигрыша в лотерее), u() - функцию полезности, определенную на множестве альтернатив, то люди, нейтральные к риску, имеют линейные функции полезности (u" = Const > 0, u"" = 0; полезность определяется с точностью до монотонного линейного преобразования), склонные к риску - выпуклые (и" > 0, и"" > 0), а несклонные - вогнутые (и" > 0, и"" Графическая интерпретация функций полезности субъектов, имеющих различное отношение к риску, позволяет привести следующий пример.

Представим себе, что субъект обладает некоторой суммой денег M0, и ему предлагают принять участие в лотерее, в

которой он с равными вероятностями выигрывает сумму AM и проигрывает такую же сумму. Если функция полезности линейна (u(x) = x), то прирост полезности от выигрыша Auj = AM по абсолютной величине равен уменьшению полезности от проигрыша Au2 = AM - субъект нейтрален к риску. Если же функция полезности вогнута, то прирост полезности Au1 от выигрыша по абсолютной величине строго меньше уменьшения полезности Au2 при проигрыше - субъект с такой функцией полезности предпочтет не рисковать (не станет принимать участие в рассматриваемой лотерее). Аналогично, для субъекта, склонного к риску (имеющего выпуклую функцию полезности), прирост полезности от выигрыша превысит уменьшение полезности при проигрыше.

Таким образом, вид функции полезности отражает «глобальное» отношение к риску. Известны (и подтверждены многочисленными исследованиями) следующие факты: коммерческие лотереи, рискованные финансовые операции и т.д. рассчитаны на людей, склонных к риску; страхователи, как правило, не склонны к риску и получают от «передачи» страховщику своего риска гораздо большую «полезность», чем просто компенсацию ожидаемых потерь, упущенного дохода и т.д.; страховщики, в большинстве случаев, нейтральны к риску (снижение рисков у страховщиков достигается за счет агрегирования большого числа мелких рисков и их диверсификации).

Рассмотренное в настоящем разделе описание отношения к риску используется ниже при исследовании механизмов страхования.

Отношение к риску различно у разных людей. В зависимости от отношения к риску можно выделить ряд человеческих типов.

Противник риска – человек, который при данном ожидаемом доходе предпочтет определенный, гарантированный результат ряду неопределенных, рискованных результатов. У противников риска низкая оценка предельной полезности доходов. С ростом богатства прирост полезности уменьшается на каждое равновеликое прибавление богатства. Убывающая предельная полезность развивает в людях антипатию к риску.

Нейтральным к риску считается человек, который при данном ожидаемом доходе безразличен к выбору между гарантированным и рисковым результатом. Для человека, нейтрального к риску, важна средняя прибыль, а поскольку она будет равна нулю (отклонение взаимно понижается), то такая игра не вызовет у него интереса. Равномерное увеличение дохода вызывает линейный рост общей полезности.

Склонным к риску считается человек, который при данном ожидаемом доходе предпочтет связанный с риском результат гарантированному результату. Любители риска получают удовольствие от азартной игры. К ним относятся люди, которые готовы отказаться от стабильного дохода ради удовольствия испытать судьбу. Обычно они переоценивают вероятность выигрыша.

Отношение к риску учитывают различные компании. Если мошенники наживаются на тех, кто предпочитает риск, то страховые компании работают с людьми, нерасположенными к риску.

Методы снижения риска

Выделяют следующие методы снижения риска:

• диверсификация;
• страхование;
• распределение риска;
• поиск информации.

Диверсификация – это метод, направленный на снижение риска путем распределения его между несколькими активами таким образом, чтобы повышение риска от покупки (или продажи) одного означает снижение риска от покупки или продажи другого.

Чаще всего диверсификацию рассматривают как эффективный способ снижения рисков в процессе управления портфелем ценных бумаг. Вместе с тем этот метод имеет значительно более широкую область эффективного применения и может использоваться в различных сферах предпринимательской деятельности – промышленном производстве, строительстве, торговле и др. Так, например, для снижения риска потерь, связанных с падением спроса на определенный вид продукции, промышленное предприятие осваивает и осуществляет выпуск разных видов продукции; строительная фирма наряду с основным видом работ осуществляет выполнение вспомогательных и сопутствующих работ, а также принимает меры, позволяющие быстро переориентироваться на выпуск других видов строительной продукции. В страховом бизнесе примером диверсификации является расширение страхового поля. Так, страхование урожая, строений и т.п. на небольшом пространстве (в случае наступления засухи, урагана и т.п.), может привести к необходимости выплаты больших страховых сумм. Увеличение страхового поля уменьшает вероятность одновременного наступления страхового события. Выход за пределы рынка одной страны может снизить потери от колебания спроса.

Следует отметить, что не любое разнообразие активов, в которые вкладывают деньги, приводит к снижению риска. Так, например, при снижении деловой активности автомобилестроительных фирм они уменьшат закупку металла у металлургов и т.д. В этом случае колебания курсов акций этих фирм будут меняться в одном направлении. Диверсификация путем приобретения акций этих компаний неэффективна, так как их курсовые стоимости будут зависеть от одних и тех же факторов. Важным условием эффективности диверсификации при формировании портфеля ценных бумаг является независимость активов, в которые вкладывается капитал. Диверсификация является способом снижения несистематического риска, т.е. риска, присущего данной бумаге. Посредством диверсификации не может быть сокращен систематический риск, который обусловлен общим состоянием экономики и связан с такими факторами, как война, инфляция, изменения налогообложения, денежно-кредитной политики и т.п.

Страхование – это метод, направленный на снижение риска путем превращения случайных убытков в относительно небольшие постоянные издержки. Люди во всем мире страхуют жизнь и имущество от непредвиденных расходов. Страховые компании организуют дело таким образом, чтобы сумма выплат и затраты на организацию страхового дела не превышали величины полученных взносов. Например, если взять 100 человек, застраховавших свои автомобили, то трудно предположить, сколько из этих автомобилей украдут в будущем году, а если взять 1000, то количество угнанных автомобилей будет близко к 1%. Таким образом объединяется риск угона большего числа автомобилей. Главное условие эффективности объединения риска при страховании в том, чтобы риски застрахованных лиц были независимыми.

Распределение риска – это метод, при котором риск вероятного ущерба делится между участниками таким образом, что возможные потери каждого относительно невелики. Например, при использовании нефтеналивного танкера ряд нефтяных компаний объединяются, чтобы компенсировать убытки в случае возможного разлива нефти, или финансово-промышленные группы (ФПГ) не боятся риска финансирования крупных проектов или новых направлений НИОКР.

Поиск информации. Большинство ошибочных решений связано с недостатком информации. Получение ее может значительно снизить величину риска. За информацию приходится платить. Стоимость информации является разницей между ожидаемой стоимостью актива, когда имеет полная информация, и ожидаемой стоимостью, когда информация неполная.

Риск – угроза, возможная опасность потерь или ущерба, вытекающая из специфики тех или иных явлений природы и видов деятельности человеческого общества.

Слово «риск» имеет испанские и португальские корни – в переводе с этих языков оно буквально означает «скала». Так мореплаватели обозначали опасность, грозящую их кораблям. В целом риск является исторической и экономической категорией.

Риск как историческая категория представляет собой осознанную человеком возможную опасность. Она свидетельствует о том, что риск исторически связан со всем ходом общественного развития. В этом контексте риск возник на низшей ступени цивилизации с появлением у человека чувства страха перед смертью. По мере развития цивилизации появляются товарно-денежные отношения и риск становится экономической категорией.

· отрицательный (проигрыш, ущерб, убыток);

· нулевой;

· положительный (выигрыш, выгода, прибыль).

Риск, как правило, связан с конкретной рисковой ситуацией. Поэтому он возникает тогда, когда решение вырабатывается в условиях неопределенности, выбор делается из нескольких трудно сопоставимых вариантов.

Риск – неотъемлемый элемент экономической деятельности. По мере ее развития степень риска в экономике имеет тенденцию к увеличению. Поэтому необходимо не просто избегать, а прогнозировать, оценивать риск, чтобы не переходить его допустимые пределы.

В оценке степени риска велика роль интуиции, которая основывается на прошлом знании. Интуиция и расчеты дополняют друг друга.

Риск – это оцененная любым способом вероятность. Вероятность – это возможность получения определенного результата. Количественная величина вероятности (значение от 0 до 1) определяет степень риска.

Следует различать объективную и субъективную вероятность.

Объективная вероятность – это вероятность, базирующаяся на расчете частоты, с которой происходит данный процесс или явление.

Субъективная вероятность – это вероятность, основанная на предположении о возможности получения данного результата.

Ожидаемое значение – это средневзвешенное значение всех возможных результатов:

E (x) = p 1 ·x 1 + p 2 ·x 2 + … + p n ·x n ,

где x i – возможные результат, p i – вероятность соответствующего результата.

Предположим, проезд в автобусе стоит 5 рублей, штраф за безбилетный проезд – 25 рублей. Если вероятность проверки билета 1/10, то ожидаемое значение результата от безбилетного проезда составит:

E (x) = 0,9 · 5 – 0,1 · 25 = + 2 руб.

Таким образом, ездить «зайцем» с экономической точки зрения целесообразно, так как выгода, скорее всего, превысит убытки.

Существует несколько способов (приемов) для численного определения величины риска , в частности:

· статистический способ (изучается статистика результатов в аналогичных видах деятельности, частота появления определенных уровней потерь),

· экспертный способ – метод экспертных оценок (обработка мнений опытных предпринимателей или специалистов),

· расчетно-аналитический способ – построение кривой распределения вероятностей потерь и оценка рисков.

На сегодняшний день прикладная теория рисков наиболее разработана применительно к страховому и игровому бизнесу.

Каждый рациональный субъект (имеются в виду и организации – юридические лица, и отдельные люди – физические лица) устанавливает для себя допустимый уровень потерь в зависимости от того, как он относится к риску.

Противником риска считается человек, который при данном ожидаемом доходе предпочтет определенный, гарантированный результат ряду неопределенных, рисковых результатов. Нерасположенность к риску является типичной чертой большинства людей. Риск для них – серьезное испытание, пойти на которое они готовы лишь в том случае, если им предложат определенную компенсацию.

Нейтральным к риску считается человек, который при данном ожидаемом доходе безразличен к выбору между гарантированным и рисковым результатами. Для человека, нейтрального к риску, важна средняя прибыль.

Склонным к риску считается человек, который при данном ожидаемом доходе предпочтет связанный с риском результат гарантированному результату. Любители риска получают удовольствие от азартной игры (от самого процесса). К ним относятся люди, которые готовы отказаться от стабильного дохода ради удовольствия испытать судьбу. Впрочем, они часто переоценивают вероятность выигрыша.

На практике показатели ожидаемого дохода и риска (разброса возможных исходов) позволяют лишь очертить возможные ориентиры при принятии экономических решений. Однако окончательно принятие решения зависит от сопоставления полезности различных исходов и выборе из них такого, который приносит наибольшую ожидаемую полезность . Уровень полезности или благосостояния в условиях неопределенности зависит от того, как лицо, принимающее решение, расценивает риск (т. е. от его отношения к нему).

Таким образом, одна из серьезных проблем при анализе рисков состоит в оценке их параметров. Особенно сложной она становится в случае, когда нет соответствующих сведений (данных).

В условиях, когда нет ни объективных, ни субъективных оценок вероятностей исходов, возможны два критерия выбора (принятия экономического решения).

Первый критерий предполагает выбор такой стратегии поведения, которая даже при худшем варианте даст результат, который будет наилучшим из всех неблагоприятных исходов, – такое поведение носит название стратегии максимина . Второй способ означает выбор варианта, который способен дать при наилучшем стечении обстоятельств максимальный результат. Различие этих двух подходов можно понять на следующем примере.

5.2. Отношение к риску

Мы использовали пример с выбором работы для описания того, как люди могут оценивать связанные с риском результаты, но использованные принципы в равной степени применимы и к другим случаям. В данном разделе мы остановимся на потребительском выборе в целом и на полезности, которую потребители получают от выбора связанных с риском альтернативных вариантов. Для простоты будем рассматривать потребление одного - единственного предмета, или, точнее, набора потребительских товаров и услуг, который можно приобрести при определенном доходе. Предположим, что все потребители знают все вероятности.

Рис. 5.3а показывает, как можно изобразить отношение женщины - потребителя к риску. Кривая ОВ, задающая ее функцию полезности, указывает уровень полезности (на оси ординат), который может достигаться при каждом уровне дохода (отложенного в тысячах долларов на оси абсцисс). Уровень полезности растет с 10 до 16 и далее до 18 единиц по мере роста дохода с 10 000 до 20 000 долл. и до 30 000 долл. При этом предельная полезность уменьшается, снижаясь с 10, когда доход растет с 0 до 10 000 долл., до 6, когда доход увеличивается с 10 000 до 20 000 долл., и до 2 единиц, когда доход поднимается с 20 000 до 30 000 долл.

Теперь предположим, что доход женщины составляет 15 000 долл. и она изучает новую, связанную с риском работу по сбыту, которая или удвоит ее доход до 30 000 долл., или вызовет его снижение до 10 000 долл. Каждая альтернатива имеет вероятность 0,5. Как показывает рис. 5.3а, уровень полезности, связанный с доходом в 10 000 долл. (в точке А), равен 10, а уровень полезности, связанный с доходом 30 000 долл., равен 18 (в точке В). Работа с риском должна быть сопоставлена с нынешней работой, при которой полезность составляет 13 единиц (в точке С), к риску

Чтобы оценить новую работу, женщина может подсчитать ожидаемую величину конечного дохода. Так как мы измеряем величину в терминах полезности для женщины, мы должны рассчитать ожидаемую полезность , которую она может получить. Ожидаемая полезность является суммой полезностей, связанных со всеми возможными результатами, взвешенных по вероятности каждого результата. В данном случае ожидаемая полезность составит:

Е (u) = (½) и (10 000 долл.) + ½) u (30 000 долл.) = 0,5(10) + 0,5(18) = 14.

Новая работа, связанная с риском, является, таким образом, более предпочтительной, чем прежняя, так как ожидаемая полезность 14 больше первоначальной полезности 13 единиц.

Прежняя работа не связана ни с каким риском - она гарантирует доход в 15 000 долл. и уровень полезности 13 единиц. Новая работа связана с риском, но предполагает в перспективе как более высокий ожидаемый доход (20 000 долл.), так и более высокую ожидаемую полезность, что еще важнее. Если женщина хочет повысить ожидаемую полезность, ей следует перейти на новую работу, связанную с риском.

Различное отношение к риску

Люди различаются по своей готовности пойти на риск. Некоторые не хотят рисковать, некоторым это нравится, а иные к риску безразличны. Будем называть человека, которой предпочитает стабильный доход работе, связанной с риском, но с тем же ожидаемым доходом, не расположенным к риску . (У такого человека низкая предельная полезность дохода). Нерасположенность к риску - наиболее распространенное отношение к риску. Чтобы доказать, что большинство людей в большинстве случаев не расположены к риску, достаточно сослаться на огромное число рискованных ситуаций, при которых люди страхуются. Множество людей не только заключают договоры по страхованию жизни, здоровья, автомобиля, но также ищут работу с относительно стабильной заработной платой.

Рис. 5.3а применим к женщине, которая не расположена к риску. Предположим, она может выбирать работу со стабильным доходом 20 000 долл., или с доходом 30 000 долл. и вероятностью 0,5, или с доходом в 10 000 долл. и вероятностью 0,5 (так, что ожидаемый доход составляет 20 000 долл.). Как мы видели, ожидаемая полезность неопределенного дохода равна 14, средняя полезность из полезности в точке А (10) и полезности в точке В (18) дана точкой Е. Теперь мы можем сравнить ожидаемую полезность при работе, связанной с риском, с полезностью при заработке в 20 000 долл. без риска. Уровень полезности 16 дан точкой D на рис. 5.3а. Очевидно, он больше, чем ожидаемая полезность при работе, связанной с риском.

Человек, нейтрально относящийся к риску , безразличен к заработку со стабильным и неопределенным доходом в случае, если неопределенный доход равен ожидаемому доходу. На рис. 5.3с полезность, связанная с работой, дающей доход 10 000 или 30 000 долл. с равной вероятностью, составляет 12, как и полезность при получении определенного дохода в 20 000 долл.

Рис. 5.3b показывает третью возможность - расположенность к риску . В данном случае ожидаемая полезность неопределенного дохода, который может составить 10 000 долл. с вероятностью 0,5 или 30 000 долл. с вероятностью 0,5, выше , чем полезность с определенным доходом в 20 000 долл. В числовом выражении:

E(u) = 0,5 u (10000 долл.) + 0,5 u (30 000 долл.) = 05(3) + 0,5(18) = 10,5 > (20 000 долл.) = 8.

Свидетельством расположенности, к риску является прежде всего то, что многим людям нравится предпринимательство. Некоторые криминалисты могут также характеризовать ряд уголовников как любителей риска, особенно когда грабеж сулит относительно высокую добычу, а угроза наказания невелика. Оставив эти особые случаи в стороне, можно утверждать, что очень немногие люди расположены к риску, по меньшей мере в отношении крупных покупок или больших размеров дохода или состояния.

Вознаграждением за риск является сумма денег, которую человек, не расположенный к риску, готов заплатить, чтобы избежать риска. Величина вознаграждения за риск зависит в целом от тех связанных с риском альтернативных вариантов, с которыми сталкивается человек. В примере, соответствующем рис. 5.3а, например, вознаграждение за риск равно 4000 долл. Чтобы подсчитать это количество в нашем примере, вспомним, что ожидаемая полезность 14 достигается женщиной, которая собирается пойти на связанную с риском работу с ожидаемым доходом в 20 000 долл. Но уровень полезности 14 может быть также достигнут, если ее стабильный доход будет равен 16 000 долл. Таким образом, 4000 долл. составляют именно ту величину дохода (20 000 долл. - 16 000 долл.), которым она готова пожертвовать, предпочитая работу со стабильным доходом рискованному заработку.

Насколько нерасположенность к риску зависит от природы риска и от дохода человека? В целом нерасположенные к риску люди предпочитают риск, связанный с меньшей дисперсией в доходах. Мы видим, что при двух альтернативах - 10 000 долл. дохода и 30 000 долл. дохода - вознаграждение за риск составляет 4000 долл. Теперь предположим, что второе место работы характеризуется риском, связанным с вероятностью 0,5 при доходе в 40 000 долл. и уровне полезности в 20 и с вероятностью 0,5 при получении дохода в 0 долл. Ожидаемая величина дохода для данного случая также составляет 20 000 долл., но ожидаемая полезность равна только 10:

ожидаемая полезность = 0,5 u (0 долл.) + 0,5 u (40 000 долл.) = 0 + 0,5 (19) = 10.

Так как уровень полезности, достигаемый при наличии стабильного дохода в 20 000 долл., составляет 16, женщина теряет 6 единиц полезности в случае выбора второго места работы. Вознаграждение за риск в данном случае составляет 10 000 долл., потому что полезность стабильного дохода в 10 000 долл. равна 10. Женщина может позволить себе отказаться от 10 000 долл. из ее 20 000 долл. ожидаемого дохода, чтобы иметь стабильный доход в 10 000 долл. и тот же уровень ожидаемой полезности. Следовательно, чем больше изменчивость, тем больше человек готов заплатить, чтобы избежать рискованных вариантов.

Пример 5.1. Руководящие работники и выбор риска

Когда перед руководящими работниками несколько альтернативных стратегий (некоторые из них связаны с риском, а некоторые "безопасны"), на каких они остановят свой выбор? В ходе одного из исследований 464 руководящих работников из сферы бизнеса попросили ответить на вопросы, связанные с риском, с которыми мог бы столкнуться вице - президент некоей компании. Предполагалось четыре ситуации с риском, каждая из которых имела заданную вероятность благоприятного и неблагоприятного результата. Результаты и вероятность были выбраны так, чтобы каждая ситуация имела одинаковое ожидаемое значение. Расположенные в порядке возрастания размеров риска (измеренного разницей между благоприятным и неблагоприятным результатами) ситуации заключались в следующем: 1) судебный процесс в связи с нарушением патентного права; 2) угроза, связанная с переходом потребителя к покупке продукции конкурента; 3) профсоюзные споры; 4) совместное предприятие с конкурентом. Руководителей попросили ответить на ряд вопросов, чтобы узнать, насколько они готовы пойти на риск или избежать его. В ряде случаев руководители предпочитали отложить выбор, собрать информацию, договориться или передать дело на усмотрение других людей, с тем чтобы избежать риска или смягчить риск, который они возьмут на себя позднее.

В ходе исследования обнаружилось, что руководители существенно различаются по своему отношению к риску. Примерно 20 % из отвечающих указали, что они безразличны к риску, 40 % проявили склонность к более рискованным альтернативам, а 20 % четко сформулировали свою нерасположенность к риску (20 % на вопросы не ответили). Более важным является то, что руководящие работники (включая тех, кто выбрал рискованные варианты) потратили немало усилий, чтобы снизить или свести риск на нет, главным образом откладывая принятие решения или собирая информацию.

В целом риск может возникнуть, когда ожидаемая прибыль оказывается как положительной (например, шанс на большее вознаграждение), так и отрицательной (например, возможность значительных убытков). Исследование показало, что руководители различны в своем отношении к риску в зависимости от того, связан ли риск с прибылью или убытками. Все руководящие работники, которым нравились рискованные ситуации, шли на риск, когда вопрос был связан с потерями (вероятно, они горели желанием вести борьбу с крупными потерями в надежде получить прибыль). Однако когда риск был связан с приобретениями, те же самые руководители становились более консервативными, склоняясь к менее рискованным альтернативам.

Пример 5.2. Предотвращение преступления

Штрафы могут свести к минимуму определенные виды нарушений - такие, как превышение скорости движения и нарушение правил стоянки автомашин, уклонение от уплаты налогов или загрязнение воздуха, - гораздо эффективнее, чем тюремное заключение. Человек, преступающий закон в данных обстоятельствах, обладает полной информацией, и есть все основания считать его действующим сознательно.

При прочих равных условиях чем больше штраф, тем больше уверенность, что потенциальный нарушитель не решится на совершение преступления. Если бы поимка преступников ничего не стоила и если бы преступление означало бы для общества издержки величиной в 1000 долл., мы могли бы избрать поимку всех нарушителей закона и налагать по 1000 долл. штрафа на каждого из них. Это отвратило бы людей от незаконной деятельности, поскольку выгода от нее меньше штрафа.

В действительности, однако, борьба с нарушителями закона требует значительных расходов. В связи с этим административные расходы обычно возмещаются относительно высокими штрафами, однако выделение ресурсов на поиск преступников осуществляется таким образом, что вероятность задержания нарушителя составляет значительно менее единицы. Следовательно, размер штрафа, при помощи которого возможно предотвратить нарушение закона, зависит от предпочтений к риску потенциального нарушителя. В целом чем менее склонен человек к риску, тем меньше должен быть штраф, чтобы предотвратить потенциальное нарушение закона. Об этом свидетельствует следующий пример.

Предположим, городские власти хотят пресечь нарушение правил парковки автомобилей. Превысив в 2 раза время допустимой стоянки, средний автомобилист может быть оштрафован на 5 долл., но это для него может быть выгодно тем, что он проведет это время более производительно, чем в том случае, если бы он искал новое место стоянки. Если бы водители были безразличны к риску и если бы на задержание нарушителей не требовалось расходов, каждый раз было бы необходимо налагать штраф чуть выше 5 долл. (5,01 долл.) при подобном нарушении. Это гарантировало бы, что абсолютная прибыль от такого нарушения для водителя (5 долл. прибыли минус 5,01 долл. штрафа) была бы отрицательной и он, таким образом, предпочел бы соблюдать закон. Фактически все потенциальные нарушители, чья прибыль меньше или равна 5 долл., не захотят нарушать закон, но те немногие, чья прибыль составляет больше 5 долл., пойдут на это (они могут нарушать правила стоянки автомобилей при чрезвычайных обстоятельствах).

Строгий контроль за соблюдением закона - дорогостоящее дело, но, к счастью, он может быть необязательным. Тот же эффект снижения количества нарушений может быть достигнут за счет назначения штрафа в 50 долл. и наказания одного из десяти нарушителей (или штрафа в 500 долл. и наказания одного из 100 нарушителей). В каждом случае ожидаемые размеры штрафа составляют 5,00 долл. ( [ОД] или .) Политика высоких штрафов и низкой вероятности задержания нарушителя экономит значительную часть средств, предназначенных для контроля за соблюдением законов.

Штрафы не обязательно должны быть большими. Если водители не склонны к риску, можно применять значительно более низкие штрафы, так как водители будут готовы частично воздержаться от нарушений из - за связанного с этим риска. В предыдущем примере штраф в 25 долл. с вероятностью наказания нарушителя 0,1 может предотвратить большинство потенциальных нарушений закона.

Функция полезности потребителя, где - величина дохода, а - уровень полезности, если доход равен. Для дохода величиной уровень полезности составляет, а вероятность реализации варианта. Тогда - вероятность реализации варианта - вероятность реализации варианта так, что. Выражение

представляет собой ожидаемую полезность (среднюю полезность) рассмотренных вариантов. Сумма (2.1.1) представляет собой функцию ожидаемой полезности Неймана-Моргенштерна. Здесь представляет собой математическое ожидание случайной величины, имеющей распределение вероятностей

Величина

представляет собой ожидаемый доход, т.е. математическое ожидание величины, имеющей распределение вероятностей

Следовательно, ожидаемая полезность есть математическое ожидание (случайной) полезности, а ожидаемый доход есть математическое ожидание случайного дохода.

2. Рассмотрим функцию полезности

где и - скалярные параметры. На основании свойства линейности математического ожидания имеем

т.е. обе функции полезности и представляют одно и то же отношение предпочтения в условиях риска.

Если функция полезности выпукла вверх, то для справедливо неравенство

Для имеем

Левая часть неравенства (2.1.2) равна

где - математическое ожидание дохода:

полезности.

Используя равенства (2.1.1) и (2.1.3), перепишем неравенство (2.1.2) следующим образом:

Неравенство (2.1.4) показывает, что математическое ожидание (случайной) полезности дохода

т.е. полезности в условиях риска, не больше полезности математического ожидания случайного дохода, которое (математическое ожидание) равно безрисковому доходу, т.е.

Рассмотренная ситуация представлена на рис. 2.1.1.

На рис. 2.1.1 точка имеет координаты и отражает полезность безрискового дохода, равного математическому ожиданию

случайного дохода. Точка с координатами представляет ожидаемую полезность, т.е. полезность в условиях риска, если вероятность дохода потребителя равна, вероятность дохода равна, а ожидаемый доход также равен. Таким образом, в условиях риска ожидаемая полезность индивидуума строго меньше полезности в условиях отсутствия риска.

Кривая на рис. 2.1.1 есть график функции полезности индивидуума, не склонного к риску, т.е. рискофоба. В условиях отсутствия риска (точка) полезность, равная ожидаемой полезности, т.е.

достигается при доходе, равном. В экономическом смысле это означает, что потребитель готов потерять часть своего дохода в размере для того, чтобы безрисковая ситуация, отражаемая точкой, была эквивалентна ситуации в условиях риска, отражаемого точкой. В обоих случаях полезность одна и та же и равна. Разность, равная длине отрезка, называют премией за риск. В случае индивидуума, который не склонен к риску, премия за риск положительна.

Если график функции полезности больше похож на прямую линию, то премия за риск будет меньше. Если график функции полезности имеет сильное искривление, то премия за риск будет больше при той же разности. Таким образом, степень искривления графика функции полезности характеризует степень неприятия риска индивидуумом.

3. Если функция полезности выпукла вниз, то для справедливо неравенство

По аналогии с предыдущим случаем, имеем неравенство, которое означает, что математическое ожидание полезности не меньше полезности математического ожидания случайного дохода, которое (математическое ожидание) равно безрисковому доходу, т.е.

Представленная на рис. 2.1.2 линия есть график функции полезности индивидуума, который склонен к риску, т.е. рискофила. В этом случае в условиях риска уровень ожидаемой полезности индивидуума строго выше уровня полезности в условиях отсутствия риска.

На рисунке точка (ее координаты) расположена выше точки (ее координаты), этим точкам соответствует один и тот же доход. Премия за риск отрицательна и равна длине отрезка, взятой со знаком минус. Экономически это означает, что индивидуум приобретает дополнительный доход в размере для того, чтобы для него безрисковая ситуация, представленная точкой с координатами, была эквивалентна ситуации в условиях риска, представленной точкой.

4. Если функция полезности индивидуума выпукла вверх и вниз, т.е. является прямой линией, то при справедливо равенство

При равенство имеет вид

В этом случае равенство означает, что математическое ожидание полезности равно полезности математического ожидания случайного дохода, которое, т.е. математическое ожидание, равно безрисковому доходу, т.е.

рис 2.1.3. Прямая линия есть график функции полезности индивидуума, нейтрального к риску - рисконейтрала. В этом случае премия за риск равна.

Для индивидуума, который не склонен к риску, функция полезности от его дохода выпукла вверх. Для такой функции ее производные и. Это означает, что предельная полезность дохода индивида убывает с ростом такого дохода. Чем больше график функции полезности больше похож на отрезок прямой, тем меньше степень неприятия риска со стороны индивидуума. И наоборот, чем сильнее искривлен график функции полезности, тем выше степень неприятия индивидуума к риску. Искривление графика функции определяет вторая производная этой функции.

5. Для обоснования показателя степени неприятия риска индивидуумом используются меры Эрроу-Пратта - относительная и абсолютная. Абсолютная мера степени неприятия риска имеет вид:

относительная мера степени неприятия риска

В связи с тем, что

абсолютная и относительная мера Эрроу-Пратта одни и те же для целого класса функций полезности, поэтому эти меры выражают свойства предпочтений индивидуума, а не только описывающих их функций полезности.

Если уровень полезности измеряется в ютилях (ю), а доход в денежных единицах (д.е.), то размерность первой производной выражается в ю/д.е., размерность второй производной имеет вид ю/(д.е.)2. Поэтому абсолютная мера Эрроу-Пратта имеет размерность вида 1/д.е., а относительная мера Эрроу-Пратта является безразмерной величиной.

Относительную меру степени неприятия риска представим следующим образом:

где - эластичность предельной полезности по доходу.

Если индивидуум склонен к риску, то, и если, то

Если, т.е. индивидуум не склонен к риску и если, то

Если, то это значит, что индивидуум нейтрален к риску, и если, то абсолютная и относительная мера неприятия риска

Меры и обладают следующими свойствами.

• 1. Если мера растет с ростом, тогда с ростом безрисковый эквивалент случайного выигрыша убывает, и наоборот.
• 2. Пусть мера возрастает с ростом, тогда с ростом спрос на рисковый актив убывает. Рисковый актив - товар низкого качества.

Пусть мера убывает с ростом, тогда с ростом спрос на рисковый продукт возрастает. Рисковый актив является нормальным товаром.

3. Пусть убывает, а возрастает, тогда эластичность спроса на рисковый актив по доходу меньше единицы. Рисковый актив является продуктом первой необходимости. Если убывает, тогда эластичность больше единицы и рисковый актив является предметом роскоши.

Для представления функций полезности, для которых абсолютная и относительная меры постоянны, необходимо решить обыкновенные дифференциальные уравнения:

где и постоянные положительные параметры. Уравнения путем понижения их порядка сводятся к уравнениям с разделяющимися переменными, которые легко интегрируются.

имеет вид

При постоянных и функция строго возрастает и выпукла вверх. Это означает, что индивидуум с функцией полезности не склонен к риску.

Общее решение дифференциального уравнения

имеет вид.

При положительных значениях постоянных и функции и строго возрастают и выпуклы вверх. Это означает, что индивидуумы с функциями полезности и не склонны к риску.

Рассмотрим пример, иллюстрирующий отношение индивидуума к риску с количественной его оценкой. Функция полезности индивида имеет вид:

где - доход индивида; - уровень полезности индивидуума, которого он достигает, приобретая потребительский набор на сумму, равную его доходу. Для этой функции абсолютная и относительная меры Эрроу-Пратта имеют вид:

При имеем случай, когда индивидуум не склонен к риску. При этом абсолютная и относительная меры имеют положительное значение Чем меньше, тем больше индивидуум не склонен к риску.

Рассматриваемый случай степенной функции полезности наглядно демонстрирует зависимость между отрицательным отношением к риску и относительной мерой Эрроу-Пратта: чем больше индивидуум не склонен к риску, тем ближе к единице относительная мера Эрроу-Пратта.

Допустим, тогда меры Эрроу-Пратта соответственно равны

При меры равны

При имеем случай, когда индивидуум склонен к риску и тогда При, индивидуум нейтрален и

Пусть. Тогда при безрисковом уровне дохода уровень полезности индивида равен

Равенство означает. что индивидуум с равными вероятностями выбирает доход или доход. Отсюда следует, что математическое ожидание дохода индивидуума равно.

Полезность математического ожидания дохода равна

а ожидаемая полезность индивидуума (математическое ожидание полезности) равна

Определим безрисковый уровень дохода, при котором полезность равна ожидаемой полезности, из следующего уравнения:

откуда получаем, что.

Премия за риск в рассматриваемом случае равна, т.е. безрисковый доход составляет и дает индивидууму полезность, равную ожидаемой полезности индивидуума при его случайном доходе с математическим ожиданием

Другими словами, премия за риск равна той части дохода индивидуума, от которой он должен отказаться для того, чтобы ситуация определенности для него была эквивалентна ситуации неопределенности

точки на графике имеют координаты

Длина отрезка, взятая со знаком плюс, равна премии за риск. Пусть теперь, т.е. степень неприятия риска индивидуумом значительно выше, чем в случае. Остальные величины равны таким же значениям, как в случае, когда. В таком варианте имеем

Премия за риск в этом случае (рис. 2.1.5) будет выше, чем в первом случае. На рис 2.1.5 линии и есть графики функций полезности и. Длины отрезков и, взятые со знаком плюс, измеряют премии за риск в первом случае и во втором ().

Таким образом, сравнительный анализ показывает, при каких значениях параметров функции полезности индивидуума премия за риск будет выше.