Все мы живем в реальности своих идей. Рынок – это зеркало, отражающее наши собственные представления. Каждый человек, связанный с рынком, никогда не имеет дело с реальностью, а всегда лишь со своими представлениями. Иногда представления обретают массовый характер, и мы говорим о трендах, линиях поддержки или графических фигурах. Аналитики часто замечают, что «рост прибыли привел к покупке акций», а «нефть снизилась на продажах инвесторов».
Но в действительности никто из нас не знает, что происходит. Все мы пользуемся лишь моделью, упрощенной версией, копией рынка. Наш успех зависит исключительно от того, насколько наша копия похожа на оригинал.
Начало 21 века серьезно пошатнуло все современные финансовые теории. Банкротство крупных инвестиционных корпораций, финансовый кризис — все это поставило под сомнение те модели, которыми пользовались аналитики и всего мира. Инвестиционные консультанты либо разводят руками, либо упорно держатся за устаревшие теории, но реальность уже нельзя игнорировать – рынки не описываются теорией случайных блужданий, кривой Гаусса, моделью Марковица и формулой Блэка-Шольца.
Копия оказалась грубой подделкой.
Именно поэтому интерес к альтернативным теориям, описывающим поведение финансового рынка, стал стремительно нарастать.
Одной из таких теорий, о которой мы поговорим сегодня, является фрактальная геометрия
. Теория эта уже не нова и активно применяется в разных областях деятельности.
Фрактальная геометрия
Термин «фракталы» у российских трейдеров традиционно связан с именем Билла Вильямса. «Фракталы Вильямса» знают все и они даже включены в список индикаторов известной платформы MetaTrader 4. Но мало кто знает имя настоящего автора этого понятия — Бенуа Мандельброта, известного математика, создателя фрактальной геометрии. Возможно, этой статьи никогда бы не было, если бы Бенуа Мандельброт не занялся всерьез применением фракталов на финансовых рынках.
Итак, что же такое фрактал?
Фрактал – это форма или «структура», которая обладает свойством к самоповторению в разных масштабах . Самый лучший способ объяснить этот термин – показать на примере. Посмотрите на рисунок 1. Что вы видите?
Ваше внимание, очевидно, отметило общую треугольную форму фигуры. Если присмотреться ближе, мы увидим, что треугольник в свою очередь состоит из еще трех вписанных в него треугольников, в каждый из которых вписано еще по три меньших треугольника, и так далее.
Приведенный пример – популярная фигура, известная также как «салфетка Серпинского»
. На любом уровне фигуры каждый ее элемент подобен элементу на более низком или более высоком масштабе. Строительный материал для фрактала или форма, лежащая в его основе, называется «инициатором»
, структура же или самоповторяющийся рисунок – «генератором»
. Инициатором для «салфетки Серпинского» может быть точка, а генератором – треугольник.
Но что это нам дает для понимания финансовых рынков?
Наблюдение 1. Описание рынка с помощью фракталов
Как оказалось, поведение рынка может быть описано с помощью . Самый базовый графический элемент рынка – это прямая линия, направленная сверху вниз или снизу вверх. Каждому трейдеру это хорошо понятно – цена либо растет, либо падает, этот процесс происходит во времени.
Таким образом, у нас появляется инициатор, который выглядит следующим образом (см. рис. 2, 3).
Даже если мы возьмем движение цены в рамках одной минуты, мы все равно получим линию, которая соединяет цену открытия и цену закрытия. Генератором же для движения цены является другая распространенная структура, хорошо известная трейдеру, – «импульс-коррекция-импульс» , которая выглядит, как представлено ниже (см. рис. 4, 5).
Генераторов на рынке может быть бесконечное множество, и точек перелома может быть вовсе не две. Какую же информацию могут дать трейдеру эти фигуры?
Если посмотреть на движение цены отдельного инструмента, можно увидеть, что структура генератора повторяется на всех временных масштабах инструмента. Примем за данность, что внутригодовое движение цены представляет собой простую структуру из двух импульсов и одной как на рисунке 2 или 3. Если оба импульса и коррекцию заменить соответствующими фракталами (генераторами), мы получим следующую структуру (см. рис. 6):
Переходя все глубже и глубже, мы дойдем до минутных, а затем и тиковых графиков, на которых вновь и вновь будет проявляться базовый фрактал .
Что характерно, соотношения между линиями генератора будут оставаться фиксированными на любой временной структуре. Углы между линиями генератора на минутном и месячном графике будет соответствовать друг другу, соотношение их длинны также. Это удивительное открытие дает нам совершенно новый взгляд на привычное движение цены.
Конечно, это понимание является упрощенным, и, по мнению самого Мандельброта, «карикатурным». Оно служит нам для описания общего принципа структуры ценового движения. Реальный рыночный генератор может быть гораздо сложнее.
В моделировании поведения рынка Мандельброт использует более сложную «мультифрактальную» модель, которая использует три измерения и так называемый «фрактальный куб» . На нем мы не будем подробно останавливаться. Вместо этого рассмотрим два других наблюдения фрактальной геометрии, которые более просты для понимания и дают трейдеру пищу для размышлений.
Наблюдение 2. Рынок имеет память
Обширные исследования рынка хлопка привели Бенуа Мандельброта к следующему выводу: периоды высокой волатильности или «турбулентности» имеют тенденцию собираться в «кластеры».
Что же представляет собой «ценовой кластер» ? Я уверен, вы догадались, что это «тренд». Для нас с вами, как трейдеров, это, безусловно, хорошая новость. Пока существуют тренды, работа трейдера будет неплохо оплачиваться.
Наблюдение 3. Эффект «Ноя»
И, наконец, третье наблюдение Мандельброта состоит в так называемом эффекте «Ноя» . Из ветхого завета мы знаем, что всемирный потоп начался неожиданно, и разрушительная сила его оказалась очень велика. Эффект «Ноя» — метафора, характеризующая рыночные развороты – биржевые панические обвалы и взлеты . Они никогда не происходят плавно, почти всегда рынок взмывает вверх или обваливается с такой силой, которую никто из инвесторов не ожидал.
Это всегда вызывает панику среди биржевой публики, которая шокирована такими движениями цены. Так, в 1987 году индекс Доу-Джонса упал на 22.6% за один день. После краха во всем обвиняли компьютерные программы, но у Бенуа Мандельброта совсем другое мнение – дело вовсе не в программах, дело в самой природе рынка
. Именно внутренне присущий рынку характер обуславливает такую динамику. Эта гипотеза также является новой и не согласуется с гипотезой эффективного рынка, согласно которой рынок должен меняться плавно и последовательно.
Об этом свойстве рынка следует помнить трейдерам, которые работают без «стопов», уповая на то, что рынок рано или поздно вернется к уровню открытия сделки.
Выводы
Резюме, которое делает Мандельброт, состоит в следующем: рынок – очень рискованное место, гораздо более рискованное, чем принято считать. Для трейдеров риск – не источник опасности, а потенциальный источник прибыли. Если правильно использовать знания о движении цен и оказываться на «правильной» стороне риска, он будет благом, а не проклятием.
Интеграция детерминированных фракталов и хаос
Из рассмотренных примеров детерминистских фракталов можно увидеть, что они не проявляют никакого хаотического поведения и что они на самом деле очень даже предсказуемы. Как известно, теория хаоса использует фрактал для того, чтобы воссоздать или найти закономерности с целью предсказания поведения многих систем в природе, таких как, например, проблема миграции птиц.
Теперь давайте посмотрим, как это в действительности происходит. Используя фрактал, называемый Деревом Пифагора, не рассматриваемого здесь (который, кстати, не изобретен Пифагором и никак не связан с теоремой Пифагора) и Броуновского движения (которое хаотично), давайте попытаемся сделать имитацию реального дерева. Упорядочение листьев и веток на дереве довольно сложно и случайно и, вероятно не является чем-то достаточно простым, что может эмулировать короткая программа из 12 строк.
Для начала нужно сгенерировать Дерево Пифагора (Рисунок 4). Результат напоминает те старые детсадовские рисунки… Так что давайте сделаем ствол толще. На этой стадии Броуновское движение не используется. Вместо этого, каждый отрезок линии теперь стал линией симметрии прямоугольника, который становится стволом, и веток снаружи.
Рисунок 4. Дерево Пифагора
Но результат все еще выглядит слишком формальным и упорядоченным. Дерево еще не смотрится как живое. Попробуем применить некоторые из тех знаний в области детерминированных фракталов, которые мы только что приобрели.
Рисунок 5.
Теперь можно использовать Броуновское движение для создания некоторой случайной беспорядочности, которая изменяет числа, округляя их до двух разрядов. В оригинале были использованы 39 разрядные десятичные числа. Результат (слева) не выглядит как дерево. Вместо этого, он выглядит как хитроумный рыболовный крючок!
Рисунок 6.
Может быть округление до 2 разрядов было слишком уж много? Снова применяем Броуновское движение, округленное на этот раз до 7 разрядов. Результат по-прежнему выглядит как рыболовный крючок, но на этот раз в форме логарифмической спирали!
Рисунок 7.
Так как левая сторона (содержащая все нечетные числа) не производит эффект крючка, случайные беспорядочности, произведенные Броуновским движением применяются дважды ко всем числам с левой стороны и только один раз к числам справа. Может быть этого будет достаточно чтобы исключить или уменьшить эффект логарифмической спирали. Итак, числа округляются до 24 разрядов. На этот раз, результат - приятно выглядящая компьютеризированная хаотическая эмуляция реального дерева.
Рисунок 8.
Виды фракталов
Это один из фракталов, с которыми экспериментировал Мандельброт, когда разрабатывал концепции фрактальных размерностей и итераций. Треугольники, сформированные соединением средних точек большего треугольника вырезаны из главного треугольника, образовывая треугольник, с большим количеством дырочек. В этом случае инициатор - большой треугольник а шаблон - операция вырезания треугольников, подобных большему. Так же можно получить и трехмерную версию треугольника, используя обыкновенный тетраэдр и вырезая маленькие тетраэдры. Размерность такого фрактала ln3/ln2 = 1.584962501.
Чтобы получить ковер Серпинского, возьмем квадрат, разделим его на девять квадратов, а средний вырежем. То же сделаем и с остальными, меньшими квадратами. В конце концов образуется плоская фрактальная сетка, не имеющая площади, но с бесконечными связями. В своей пространственной форме, губка Серпинского преобразуется в систему сквозных форм, в которой каждый сквозной элемент постоянно заменяется себе подобным. Эта структура очень похожа на разрез костной ткани. Когда-нибудь такие повторяющиеся структуры станут элементом строительных конструкций. Их статика и динамика, считает Мандельброт, заслуживает пристального изучения.
Рисунок 9. Решётка Серпинского.
Рисунок 10. Губка Серпинского.
Не перепутайте этот фрактал с решеткой Серпинского. Это два абсолютно разных объекта. В этом фрактале, инициатор и генератор одинаковы. При каждой итерации, добавляется уменьшенная копия инициатора к каждому углу генератора и так далее. Если при создании этого фрактала произвести бесконечное число итераций, он бы занял всю плоскость, не оставив ни одной дырочки. Поэтому его фрактальная размерность ln9/ln3 = 2.0.
Рисунок 11. Треугольник Серпинского.
Кривая Коха один из самых типичных детерминированных фракталов. Она была изобретена в девятнадцатом веке немецким математиком по имени Хельге фон Кох, который, изучая работы Георга Контора и Карла Вейерштрассе, натолкнулся на описания некоторых странных кривых с необычным поведением. Инициатор - прямая линия. Генератор - равносторонний треугольник, стороны которого равны трети длины большего отрезка. Эти треугольники добавляются к середине каждого сегмента снова и снова. В своем исследовании, Мандельброт много экспериментировал с кривыми Коха, и получил фигуры такие как Острова Коха, Кресты Коха, Снежинки Коха и даже трехмерные представления кривой Коха, используя тетраэдр и прибавляя меньшие по размерам тетраэдры к каждой его грани. Кривая Коха имеет размерность ln4/ln3 = 1.261859507.
Рисунок 12. Кривая Коха.
Это НЕ множество Мандельброта, которое можно достаточно часто видеть. Множество Мандельброта основано на нелинейных уравнениях и является комплексным фракталом. Это тоже вариант кривой Коха несмотря на то, что этот объект не похож на нее. Инициатор и генератор так же отличны от использованных для создания фракталов, основанных на принципе кривой Коха, но идея остается той же. Вместо того, чтобы присоединять равносторонние треугольники к отрезку кривой, квадраты присоединяются к квадрату. Благодаря тому, что этот фрактал занимает точно половину отведенного пространства при каждой итерации, он имеет простую фрактальную размерность 3/2 = 1.5
Рисунок 13. Фрактал Мандельброта.
Кривая Дракона.
Изобретенная итальянским математиком Джузеппе Пеано, Кривая Дракона или Взмах Дракона, как он назвал его, очень похож на колбасу Минковского. Использован более простой инициатор, а генератор тот же самый. Мандельброт назвал этот фрактал Река Двойного Дракона. Его фрактальная размерность приблизительно равна 1.5236.
Рисунок 14. Дракон Джузеппе Пеано.
Множества Мандельброта и Жюлиа, вероятно, два наиболее распространенных среди сложных фракталов. Их можно найти во многих научных журналах, обложках книг, открытках, и в компьютерных хранителях экрана. Множество Мандельброта, которое было построено Бенуа Мандельбротом, наверное первая ассоциация, возникающая у людей, когда они слышат слово фрактал. Этот фрактал, напоминающий чесальную машину с прикрепленными к ней пылающими древовидными и круглыми областями, генерируется простой формулой
Zn+1=Zna+C, где Z и C - комплексные числа и а - положительное число.
Множество Мандельброта, которое чаще всего можно увидеть - это множество Мандельброта 2й степени, то есть а=2. Тот факт, что множество Мандельброта не только Zn+1=ZnІ+C, а фрактал, показатель в формуле которого может быть любым положительным числом ввел в заблуждение многих. На этой странице вы видите пример множества Мандельброта для различных значений показателя а.
Также популярен процесс Z=Z*tg (Z+C). Благодаря включению функции тангенса, получается множество Мандельброта, окруженное областью, напоминающей яблоко. При использовании функции косинуса, получаются эффекты воздушных пузырьков. Короче говоря, существует бесконечное количество способов настройки множества Мандельброта для получения различных красивых картинок.
Рисунок 15. Множество Мандельброта.
Рисунок 16. Множество Мандельброта при а=3,5.
Удивительно, но множества Жюлиа образуются по той же самой формуле, что и множество Мандельброта. Множество Жюлиа было изобретено французским математиком Гастоном Жюлиа, по имени которого и было названо множество. Первый вопрос, возникающий после визуального знакомства с множествами Мандельброта и Жюлиа это “если оба фрактала сгенерированы по одной формуле, почему они такие разные? ” Сначала посмотрите на картинки множества Жюлиа. Достаточно странно, но существуют разные типы множеств Жюлиа. При рисовании фрактала с использованием различных начальных точек (чтобы начать процесс итераций), генерируются различные изображения. Это применимо только ко множеству Жюлиа.
Хотя это нельзя увидеть на картинке, фрактал Мандельброта - это, на самом деле, множество фракталов Жюлиа, соединенных вместе. Каждая точка (или координата) множества Мандельброта соответствует фракталу Жюлиа. Множества Жюлиа можно сгенерировать используя эти точки в качестве начальных значений в уравнении Z=ZІ+C. Но это не значит, что если выбрать точку на фрактале Мандельброта и увеличить ее, можно получить фрактал Жюлиа. Эти две точки идентичны, но только в математическом смысле. Если взять эту точку и просчитать ее по данной формуле, можно получить фрактал Жюлиа, соответствующий определенной точке фрактала Мандельброта.
Рисунок 17. Множество Жюлиа.
Логистическое уравнение - это формула, над которой, в основном, работал Митчелл Фейгенбаум при создании своей теории о фракталах. Эта формула должна описывать динамику развития популяции:
f (x) = (1 - x) rx
Простейшая модель - это пропорциональное соотношение численности с прошлым годом. Допустим в прошлом году у нас было x животных. В этом году их должно быть rx животных. Но это не выполняется в реальных условиях. Лучшее соответствие с реальностью получится если добавить фактор, зависящий от того какой потенциал существует у популяции для дальнейшего развития, и пусть x - коэффициент полноты, который меняется от 0 до 1. Потом добавляется фактор 1 - x, так что территория почти полностью заполнена, популяция не возрастет выше верхнего предела.
Расширяя логистическое выражение, получаем:
f (x) = аx - ах2
Формула, использующаяся в программе LT Bifurcator для объяснения сущности фрактала Фейгенбаума - (1 + r) x - rx2 не сильно отличается от формулы, приведенной выше. В принципе, для изучения теории можно было использовать любую формулу, например самую простую из формул данного вида - xІ - r. Единственными различиями являются различия в координатах окон на картинке и несколько измененный внешний вид изображения.
Рисунок 18. Дерево Фейгенбаума.
Если вы когда-либо видели формулу множетсва Мандельброта z=z2 + x, вы могли бы заметить схожесть между этой формулой и самой простой из формул для построения дерева Фейгенбаума x2 - r. И это действительно так. Сходство существует. Но фейгенбаумово дерево растет в другую сторону. Измените формулу Фейгенбаума на x2 + r и вы увидите сходство. Что касается множества Мандельброта, вам нужно смотреть вдоль горизонтальной оси, так как это единственная позиция в которой комплексная часть числа Мандельброта равна нулю. Вы увидите, что основное тело фигуры Мандельброта находится там, где функция в дереве Фейгенбаума принимает лишь одно значение. Когда происходит первое разделение линии (бифуркация) появляется новое тело на фигуре Мандельброта и т.д. Обратите также внимание на то, что когда в дереве открывается главное окно, на фигуре Мандельброта появляется дочернее тело.
Рисунок 19. Дерево Фейгенбаума и Множество Мандельброта.
Самые гениальные открытия в науке способны кардинально изменить человеческую жизнь. Изобретенная вакцина может спасти миллионы людей, создание оружия, наоборот, эти жизни отнимает. Совсем недавно (в масштабе человеческой эволюции) мы научились «укрощать» электричество — и теперь не можем себе представить жизнь без всех этих удобных устройств, использующих электроэнергию. Но есть и такие открытия, которым мало кто придает значение, хотя они тоже сильно влияют на нашу жизнь.
Одно из таких «незаметных» открытий — фракталы. Вам наверняка доводилось слышать это запоминающееся слово, но знаете ли вы, что оно означает и как много интересного скрыто в этом термине?
В каждом человеке заложена природная любознательность, стремление познавать окружающий его мир. И в этом стремлении человек старается придерживаться логики в суждениях. Анализируя процессы, происходящие вокруг него, он пытается найти логичность происходящего и вывести некоторую закономерность. Самые большие умы на планете заняты этой задачей. Грубо говоря, ученые ищут закономерность там, где ее быть не должно. Тем не менее даже в хаосе можно найти связь между событиями. И эта связь — фрактал.
Наша маленькая дочь, четырех с половиной лет, сейчас находится в том прекрасном возрасте, когда число вопросов «Почему?» многократно превышает число ответов, которые взрослые успевают давать. Не так давно, рассматривая поднятую с земли ветку, дочка вдруг заметила, что эта ветка, с сучками и ответвлениями, сама похожа на дерево. И, конечно, дальше последовал привычный вопрос «Почему?», на который родителям пришлось искать простое объяснение, понятное ребенку.
Обнаруженная ребенком схожесть отдельной веточки с целым деревом — это очень точное наблюдение, которое лишний раз свидетельствует о принципе рекурсивного самоподобия в природе. Очень многие органические и неорганические формы в природе формируются аналогично. Облака, морские раковины, «домик» улитки, кора и крона деревьев, кровеносная система и так далее — случайные формы всех этих объектов могут быть описаны фрактальным алгоритмом.
⇡ Бенуа Мандельброт: отец фрактальной геометрии
Само слово «фрактал» появилось благодаря гениальному ученому Бенуа Мандельброту (Benoît B. Mandelbrot).
Он сам придумал этот термин в семидесятых годах прошлого века, позаимствовав слово fractus из латыни, где оно буквально означает «ломанный» или «дробленный». Что же это такое? Сегодня под словом «фрактал» чаще всего принято подразумевать графическое изображение структуры, которая в более крупном масштабе подобна сама себе.
Математическая база для появления теории фракталов была заложена за много лет до рождения Бенуа Мандельброта, однако развиться она смогла лишь с появлением вычислительных устройств. В начале своей научной деятельности Бенуа работал в исследовательском центре компании IBM. В то время сотрудники центра трудились над передачей данных на расстояние. В ходе исследований ученые столкнулись с проблемой больших потерь, возникающих из-за шумовых помех. Перед Бенуа стояла сложная и очень важная задача — понять, как предсказать возникновение шумовых помех в электронных схемах, когда статистический метод оказывается неэффективным.
Просматривая результаты измерений шума, Мандельброт обратил внимание на одну странную закономерность — графики шумов в разном масштабе выглядели одинаково. Идентичная картина наблюдалась независимо от того, был ли это график шумов за один день, неделю или час. Стоило изменить масштаб графика, и картина каждый раз повторялась.
При жизни Бенуа Мандельброт неоднократно говорил, что он не занимается формулами, а просто играет с картинками. Этот человек мыслил очень образно, а любую алгебраическую задачу переводил в область геометрии, где, по его словам, правильный ответ всегда очевиден.
Неудивительно, что именно человек с таким богатым пространственным воображением стал отцом фрактальной геометрии. Ведь осознание сути фракталов приходит именно тогда, когда начинаешь изучать рисунки и вдумываться в смысл странных узоров-завихрений.
Фрактальный рисунок не имеет идентичных элементов, но обладает подобностью в любом масштабе. Построить такое изображение с высокой степенью детализации вручную ранее было просто невозможно, на это требовалось огромное количество вычислений. Например, французский математик Пьер Жозе Луи Фату (Pierre Joseph Louis Fatou) описал это множество более чем за семьдесят лет до открытия Бенуа Мандельбротом. Если же говорить про принципы самоподобия, то о них упоминалось еще в трудах Лейбница и Георга Кантора.
Один из первых рисунков фрактала был графической интерпретацией множества Мандельброта, которое родилось благодаря исследованиям Гастона Мориса Жюлиа (Gaston Maurice Julia).
Гастон Жюлиа (всегда в маске — травма с Первой мировой войны)
Этот французский математик задался вопросом, как будет выглядеть множество, если построить его на основе простой формулы, проитерированной циклом обратной связи. Если объяснить «на пальцах», это означает, что для конкретного числа мы находим по формуле новое значение, после чего подставляем его снова в формулу и получаем еще одно значение. Результат — большая последовательность чисел.
Чтобы получить полное представление о таком множестве, нужно проделать огромное количество вычислений — сотни, тысячи, миллионы. Вручную это сделать было просто нереально. Но когда в распоряжении математиков появились мощные вычислительные устройства, они смогли по-новому взглянуть на формулы и выражения, которые давно вызывали интерес. Мандельброт был первым, кто использовал компьютер для просчета классического фрактала. Обработав последовательность, состоящую из большого количества значений, Бенуа перенес результаты на график. Вот что он получил.
Впоследствии это изображение было раскрашено (например, один из способов окрашивания цветом — по числу итераций) и стало одним из самых популярных изображений, какие только были созданы человеком.
Как гласит древнее изречение, приписываемое Гераклиту Эфесскому, «В одну и ту же реку нельзя войти дважды». Оно как нельзя лучше подходит для трактования геометрии фракталов. Как бы детально мы ни рассматривали фрактальное изображение, мы все время будем видеть схожий рисунок.
Желающие посмотреть, как будет выглядеть изображение пространства Мандельброта при многократном увеличении, могут сделать это, загрузив анимационный GIF .
⇡ Лорен Карпентер: искусство, созданное природой
Теория фракталов скоро нашла практическое применение. Поскольку она тесно связана с визуализацией самоподобных образов, неудивительно, что первыми, кто взял на вооружение алгоритмы и принципы построения необычных форм, были художники.
Будущий сооснователь легендарной студии Pixar Лорен Карпентер (Loren C. Carpenter) в 1967 году начал работать в компании Boeing Computer Services, которая была одним из подразделений известной корпорации, занимающейся разработкой новых самолетов.
В 1977 году он создавал презентации с прототипами летающих моделей. В обязанности Лорена входила разработка изображений проектируемых самолетов. Он должен был создавать картинки новых моделей, показывая будущие самолеты с разных сторон. В какой-то момент в голову будущему основателю Pixar Animation Studios пришла в голову креативная идея использовать в качестве фона изображение гор. Сегодня такую задачу может решить любой школьник, но в конце семидесятых годов прошлого века компьютеры не могли справиться со столь сложными вычислениями — графических редакторов не было, не говоря уже о приложениях для трехмерной графики. В 1978 году Лорен случайно увидел в магазине книгу Бенуа Мандельброта «Фракталы: форма, случайность и размерность». В этой книге его внимание привлекло то, что Бенуа приводил массу примеров фрактальных форм в реальной жизни и доказывал, что их можно описать математическим выражением.
Такая аналогия была выбрана математиком не случайно. Дело в том, что как только он обнародовал свои исследования, ему пришлось столкнуться с целым шквалом критики. Главное, в чем упрекали его коллеги, — бесполезность разрабатываемой теории. «Да, — говорили они, — это красивые картинки, но не более. Практической ценности теория фракталов не имеет». Были также те, кто вообще считал, что фрактальные узоры — просто побочный результат работы «дьявольских машин», которые в конце семидесятых многим казались чем-то слишком сложным и неизученным, чтобы всецело им доверять. Мандельброт пытался найти очевидное применение теории фракталов, но, по большому счету, ему и не нужно было это делать. Последователи Бенуа Мандельброта в следующие 25 лет доказали огромную пользу от подобного «математического курьеза», и Лорен Карпентер был одним из первых, кто опробовал метод фракталов на практике.
Проштудировав книжку, будущий аниматор серьезно изучил принципы фрактальной геометрии и стал искать способ реализовать ее в компьютерной графике. Всего за три дня работы Лорен смог визуализировать реалистичное изображение горной системы на своем компьютере. Иными словами, он с помощью формул нарисовал вполне узнаваемый горный пейзаж.
Принцип, который использовал Лорен для достижения цели, был очень прост. Он состоял в том, чтобы разделять более крупную геометрическую фигуру на мелкие элементы, а те, в свою очередь, делить на аналогичные фигуры меньшего размера.
Используя более крупные треугольники, Карпентер дробил их на четыре мелких и затем повторял эту процедуру снова и снова, пока у него не получался реалистичный горный ландшафт. Таким образом, ему удалось стать первым художником, применившим в компьютерной графике фрактальный алгоритм для построения изображений. Как только стало известно о проделанной работе, энтузиасты по всему миру подхватили эту идею и стали использовать фрактальный алгоритм для имитации реалистичных природных форм.
Одна из первых визуализаций 3D по фрактальному алгоритму
Всего через несколько лет свои наработки Лорен Карпентер смог применить в куда более масштабном проекте. Аниматор создал на их основе двухминутный демонстрационный ролик Vol Libre, который был показан на Siggraph в 1980 году. Это видео потрясло всех, кто его видел, и Лоурен получил приглашение от Lucasfilm.
Анимация рендерилась на компьютере VAX-11/780 от Digital Equipment Corporation с тактовой частотой пять мегагерц, причем прорисовка каждого кадра занимала около получаса.
Работая для Lucasfilm Limited, аниматор создавал по той же схеме трехмерные ландшафты для второго полнометражного фильма саги Star Trek. В фильме «Гнев Хана» (The Wrath of Khan) Карпентер смог создать целую планету, используя тот же самый принцип фрактального моделирования поверхности.
В настоящее время все популярные приложения для создания трехмерных ландшафтов используют аналогичный принцип генерирования природных объектов. Terragen, Bryce, Vue и прочие трехмерные редакторы полагаются на фрактальный алгоритм моделирования поверхностей и текстур.
⇡ Фрактальные антенны: лучше меньше, да лучше
За последние полвека жизнь стремительно стала меняться. Большинство из нас принимает достижения современных технологий как должное. Ко всему, что делает жизнь более комфортной, привыкаешь очень быстро. Редко кто задается вопросами «Откуда это взялось?» и «Как оно работает?». Микроволновая печь разогревает завтрак — ну и прекрасно, смартфон дает возможность поговорить с другим человеком — отлично. Это кажется нам очевидной возможностью.
Но жизнь могла бы быть совершенно иной, если бы человек не искал объяснения происходящим событиям. Взять, например, сотовые телефоны. Помните выдвижные антенны на первых моделях? Они мешали, увеличивали размеры устройства, в конце концов, часто ломались. Полагаем, они навсегда канули в Лету, и отчасти виной тому… фракталы.
Фрактальные рисунки завораживают своими узорами. Они определенно напоминают изображения космических объектов — туманностей, скопления галактик и так далее. Поэтому вполне закономерно, что, когда Мандельброт озвучил свою теорию фракталов, его исследования вызвали повышенный интерес у тех, кто занимался изучением астрономии. Один из таких любителей по имени Натан Коэн (Nathan Cohen) после посещения лекции Бенуа Мандельброта в Будапеште загорелся идеей практического применения полученных знаний. Правда, сделал он это интуитивно, и не последнюю роль в его открытии сыграл случай. Будучи радиолюбителем, Натан стремился создать антенну, обладающую как можно более высокой чувствительностью.
Единственный способ улучшить параметры антенны, который был известен на то время, заключался в увеличении ее геометрических размеров. Однако владелец жилья в центре Бостона, которое арендовал Натан, был категорически против установки больших устройств на крыше. Тогда Натан стал экспериментировать с различными формами антенн, стараясь получить максимальный результат при минимальных размерах. Загоревшись идеей фрактальных форм, Коэн, что называется, наобум сделал из проволоки один из самых известных фракталов — «снежинку Коха». Шведский математик Хельге фон Кох (Helge von Koch) придумал эту кривую еще в 1904 году. Она получается путем деления отрезка на три части и замещения среднего сегмента равносторонним треугольником без стороны, совпадающей с этим сегментом. Определение немного сложное для восприятия, но на рисунке все ясно и просто.
Существуют также другие разновидности «кривой Коха», но примерная форма кривой остается похожей
Когда Натан подключил антенну к радиоприемному устройству, он был очень удивлен — чувствительность резко увеличилась. После серии экспериментов будущий профессор Бостонского университета понял, что антенна, сделанная по фрактальному рисунку, имеет высокий КПД и покрывает гораздо более широкий частотный диапазон по сравнению с классическими решениями. Кроме того, форма антенны в виде кривой фрактала позволяет существенно уменьшить геометрические размеры. Натан Коэн даже вывел теорему, доказывающую, что для создания широкополосной антенны достаточно придать ей форму самоподобной фрактальной кривой.
Автор запатентовал свое открытие и основал фирму по разработке и проектированию фрактальных антенн Fractal Antenna Systems , справедливо полагая, что в будущем благодаря его открытию сотовые телефоны смогут избавиться от громоздких антенн и станут более компактными.
В принципе, так и произошло. Правда, и по сей день Натан ведет судебную тяжбу с крупными корпорациями, которые незаконно используют его открытие для производства компактных устройств связи. Некоторые известные производители мобильных устройств, как, например, Motorola, уже пришли к мирному соглашению с изобретателем фрактальной антенны.
⇡ Фрактальные измерения: умом не понять
Этот вопрос Бенуа позаимствовал у знаменитого американского ученого Эдварда Каснера.
Последний, как и многие другие известные математики, очень любил общаться с детьми, задавая им вопросы и получая неожиданные ответы. Иногда это приводило к удивительным последствиям. Так, например, девятилетний племянник Эдварда Каснера придумал хорошо всем известное теперь слово «гугол», обозначающее единицу со ста нулями. Но вернемся к фракталам. Американский математик любил задавать вопрос, какова длина береговой линии США. Выслушав мнение собеседника, Эдвард сам говорил правильный ответ. Если измерять длину по карте ломаными отрезками, то результат окажется неточным, ведь береговая линия имеет большое количество неровностей. А что будет, если измерять максимально точно? Придется учитывать длину каждой неровности — нужно будет измерять каждый мыс, каждую бухту, скалу, длину скалистого уступа, камня на ней, песчинки, атома и так далее. Поскольку число неровностей стремится к бесконечности, измеренная длина береговой линии будет при измерении каждой новой неровности увеличиваться до бесконечности.
Чем меньше мера при измерении, тем больше измеряемая длина
Интересно, что, следуя подсказкам Эдварда, дети намного быстрее взрослых говорили правильное решение, в то время как у последних были проблемы с принятием такого невероятного ответа.
На примере этой задачи Мандельброт предложил использовать новый подход к измерениям. Поскольку береговая линия близка к фрактальной кривой, значит, к ней можно применить характеризующий параметр — так называемую фрактальную размерность.
Что такое обычная размерность — понятно любому. Если размерность равна единице, мы получаем прямую, если два — плоскую фигуру, три — объем. Однако такое понимание размерности в математике не срабатывает с фрактальными кривыми, где этот параметр имеет дробное значение. Фрактальную размерность в математике можно условно рассматривать как «неровность». Чем выше неровность кривой, тем больше ее фрактальная размерность. Кривая, обладающая, по Мандельброту, фрактальной размерностью выше ее топологической размерности, имеет аппроксимированную протяженность, которая не зависит от количества измерений.
В настоящее время ученые находят все больше и больше областей для применения теории фракталов. С помощью фракталов можно анализировать колебания котировок на бирже, исследовать всевозможные естественные процессы, как, например, колебание численности видов, или моделировать динамику потоков. Фрактальные алгоритмы могут быть использованы для сжатия данных, например для компрессии изображений. И кстати, чтобы получить на экране своего компьютера красивый фрактал, не обязательно иметь докторскую степень.
⇡ Фрактал в браузере
Пожалуй, один из самых простых способов получить фрактальный узор — воспользоваться онлайновым векторным редактором от молодого талантливого программиста Toby Schachman . В основе инструментария этого простого графического редактора лежит все тот же принцип самоподобия.
В вашем распоряжении имеется всего две простейших формы — четырехугольник и круг. Вы можете добавлять их на холст, масштабировать (чтобы масштабировать вдоль одной из осей, удерживайте клавишу Shift) и вращать. Перекрываясь по принципу булевых операций сложения, эти простейшие элементы образуют новые, менее тривиальные формы. Далее эти новые формы можно добавлять в проект, а программа будет повторять генерирование этих изображений до бесконечности. На любом этапе работы над фракталом можно возвращаться к любой составляющей сложной формы и редактировать ее положение и геометрию. Увлекательное занятие, особенно если учесть, что единственный инструмент, который вам нужен для творчества, — браузер. Если вам будет непонятен принцип работы с этим рекурсивным векторным редактором, советуем вам посмотреть видео на официальном сайте проекта, на котором подробно показывается весь процесс создания фрактала.
⇡ XaoS: фракталы на любой вкус
Многие графические редакторы имеют встроенные средства для создания фрактальных узоров. Однако эти инструменты обычно являются второстепенными и не позволяют выполнить тонкую настройку генерируемого фрактального узора. В тех случаях, когда необходимо построить математически точный фрактал, на помощь придет кроссплатформенный редактор XaoS . Эта программа дает возможность не только строить самоподобное изображение, но и выполнять с ним различные манипуляции. Например, в режиме реального времени вы можете совершить «прогулку» по фракталу, изменив его масштаб. Анимированное движение вдоль фрактала можно сохранить в виде файла XAF и затем воспроизвести в самой программе.
XaoS может загружать случайный набор параметров, а также использовать различные фильтры постобработки изображения — добавлять эффект смазанного движения, сглаживать резкие переходы между точками фрактала, имитировать 3D-картинку и так далее.
⇡ Fractal Zoomer: компактный фрактальный генератор
По сравнению с другими генераторами изображений фракталов имеет несколько преимуществ. Во-первых, он совсем небольшой по размеру и не требует установки. Во-вторых, в нем реализована возможность определять цветовую палитру рисунка. Вы можете выбирать оттенки в цветовых моделях RGB, CMYK, HVS и HSL.
Также очень удобно использовать опцию случайного подбора цветовых оттенков и функцию инвертирования всех цветов на картинке. Для настройки цвета имеется функция цикличного перебора оттенков — при включении соответствующего режима программа анимирует изображение, циклично меняя на нем цвета.
Fractal Zoomer может визуализировать 85 различных фрактальных функций, причем в меню программы наглядно показываются формулы. Фильтры для постобработки изображения в программе имеются, хотя и в небольшом количестве. Каждый назначенный фильтр можно в любой момент отменить.
⇡ Mandelbulb3D: редактор трехмерных фракталов
Когда употребляется термин «фрактал», чаще всего подразумевается плоское двухмерное изображение. Однако фрактальная геометрия выходит за рамки 2D-измерения. В природе можно найти как примеры плоских фрактальных форм, скажем, геометрию молнии, так и трехмерные объемные фигуры. Фрактальные поверхности могут быть трехмерными, и одна из очень наглядных иллюстраций 3D-фракталов в повседневной жизни — кочан капусты. Наверное, лучше всего фракталы можно разглядеть в сорте романеско — гибриде цветной капусты и брокколи.
А еще этот фрактал можно съесть
Создавать трехмерные объекты с похожей формой умеет программа Mandelbulb3D . Чтобы получить трехмерную поверхность с использованием фрактального алгоритма, авторы данного приложения, Дениэл Уайт (Daniel White) и Пол Ниландер (Paul Nylander), преобразовали множество Мандельброта в сферические координаты. Созданная ими программа Mandelbulb3D представляет собой самый настоящий трехмерный редактор, который моделирует фрактальные поверхности разных форм. Поскольку в природе мы часто наблюдаем фрактальные узоры, то искусственно созданный фрактальный трехмерный объект кажется невероятно реалистичным и даже «живым».
Он может походить на растение, может напоминать странное животное, планету или что-нибудь другое. Этот эффект усиливается благодаря продвинутому алгоритму визуализации, который дает возможность получать реалистичные отражения, просчитывать прозрачность и тени, имитировать эффект глубины резкости и так далее. В Mandelbulb3D имеется огромное количество настроек и параметров визуализации. Можно управлять оттенками источников света, выбирать фон и уровень детализации моделируемого объекта.
Фрактальный редактор Incendia поддерживает двойное сглаживание изображения, содержит библиотеку из полусотни различных трехмерных фракталов и имеет отдельный модуль для редактирования базовых форм.
Приложение использует фрактальный скриптинг, с помощью которого можно самостоятельно описывать новые типы фрактальных конструкций. В Incendia есть редакторы текстур и материалов, а движок визуализации позволяет использовать эффекты объемного тумана и различные шейдеры. В программе реализована опция сохранения буфера при длительном рендеринге, поддерживается создание анимации.
Incendia позволяет экспортировать фрактальную модель в популярные форматы трехмерной графики — OBJ и STL. В состав Incendia включена небольшая утилита Geometrica — специальный инструмент для настройки экспорта фрактальной поверхности в трехмерную модель. С помощью этой утилиты можно определять разрешение 3D-поверхности, указывать число фрактальных итераций. Экспортированные модели могут быть использованы в 3D-проектах при работе с такими трехмерными редакторами, как Blender, 3ds max и прочие.
В последнее время работа над проектом Incendia несколько затормозилась. На данный момент автор ищет спонсоров, которые помогли бы ему развивать программу.
Если вам не хватает фантазии нарисовать в этой программе красивый трехмерный фрактал — не беда. Воспользуйтесь библиотекой параметров, которая находится в папке INCENDIA_EX\parameters. С помощью файлов PAR вы сможете быстро найти самые необычные фрактальные формы, в том числе и анимированные.
⇡ Aural: как поют фракталы
Мы обычно не рассказываем о проектах, работа над которыми только ведется, однако в данном случае мы должны сделать исключение, уж очень это необычное приложение. Проект под названием Aural придумал тот же человек, что и Incendia. Правда, на этот раз программа не визуализирует фрактальное множество, а озвучивает его, превращая в электронную музыку. Идея очень любопытная, особенно если учесть необычные свойства фракталов. Aural — это аудиоредактор, генерирующий мелодии с использованием фрактальных алгоритмов, то есть, по сути, это звуковой синтезатор-секвенсор.
Последовательность звуков, выдаваемая этой программой, необычна и… красива. Она вполне может пригодиться для написания современных ритмов и, как нам кажется, особенно хорошо подходит для создания звуковых дорожек к заставкам телевизионных и радиопередач, а также «петель» фоновой музыки к компьютерным играм. Рамиро пока не предоставил демонстрационной версии своей программы, но обещает, что, когда он это сделает, для того, чтобы работать с Aural, не нужно будет изучать теорию фракталов — достаточно просто поиграться с параметрами алгоритма генерирования последовательности нот. Послушать, как звучат фракталы, и .
Фракталы: музыкальная пауза
Вообще-то фракталы могут помочь написать музыку даже без программного обеспечения. Но это может сделать только тот, кто по-настоящему проникнут идеей природной гармонии и при этом не превратился в несчастного «ботана». Тут есть смысл брать пример с музыканта по имени Джонатан Колтон (Jonathan Coulton), который, помимо всего прочего, пишет композиции для журнала Popular Science. И не в пример другим исполнителям, Колтон все свои произведения публикует под лицензией Creative Commons Attribution-Noncommercial, которая (при использовании в некоммерческих целях) предусматривает свободное копирование, распространение, передачу произведения другим лицам, а также его изменение (создание производных произведения), чтобы приспособить его к своим задачам.
У Джонатана Колтона, конечно же, есть песня про фракталы.
⇡ Заключение
Во всем, что нас окружает, мы часто видим хаос, но на самом деле это не случайность, а идеальная форма, разглядеть которую нам помогают фракталы. Природа — лучший архитектор, идеальный строитель и инженер. Она устроена очень логично, и если где-то мы не видим закономерности, это означает, что ее нужно искать в другом масштабе. Люди все лучше и лучше это понимают, стараясь во многом подражать естественным формам. Инженеры проектируют акустические системы в виде раковины, создают антенны с геометрией снежинок и так далее. Уверены, что фракталы хранят в себе еще немало секретов, и многие из них человеку еще лишь предстоит открыть.
Книга известного американского математика Бенуа Мандельброта посвящена фрактальной геометрии и фундаментальным вопросам случайности. Фрактальную геометрию Мандельброт придумал, когда писал труды по финансам в шестидесятые годы. Данное произведение содержит, среди прочих, эти труды, которые ранее не издавались, а также фундаментальные представления о случайности. На мой взгляд, книга будет полезна тем, кто предполагает заработать на фондовом/валютном рынке (в качестве отрезвляющего душа), а также всем, кто размышляет о роли случая и закономерностях.
Ранее я читал Бенуа Мандельброт. .
Бенуа Мандельброт. Фракталы, случай и финансы. – Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2004. – 256.
Скачать конспект (краткое содержание) в формате или
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. ФРАКТАЛЫ
Глава 1.1. Признанный и принесший плоды «мезальянс»
Еще в самом начале своей научной карьеры я пришел к выводу, что многочисленные реально существующие формы настолько нерегулярны или изломаны, что сложность Природы не только количественно, но и качественно превосходит все то, что допускает геометрия Евклида. Для того, чтобы охарактеризовать отрезок или окружность, достаточно некоторого небольшого количества отдельных измерений, в природе же это число столь велико, что его можно считать практически бесконечным.
Решившись принять упомянутый вызов, я задумал и разработал новую геометрию природы, а затем использовал ее во множестве различных областей. Фракталы - это объекты (математические, природные или созданные человеком), которые мы называем неправильными, шероховатыми, пористыми или раздробленными, причем указанными свойствами фракталы обладают в одинаковой степени в любом масштабе. Можно сказать, что форма этих объектов не изменяется от того, рассматриваем мы их вблизи или издалека.
Связующей нитью, определяющей понятие фрактала, стала идея о том, что некоторые феномены нашего мира имеют одинаковую структуру при рассматривании их вблизи или издалека (т.е. в любом масштабе) - когда мы увеличиваем картинку, желая разглядеть что-либо получше, изменяются лишь незначительные детали. Так, каждый малый участок фрактала представляет собой ключ к целой конструкции. Я использую термин «самоподобие».
Я описал горы, облака, деревья, скопления галактик и следы биржевого курса, но описывать их достаточно совершенным образом, позволяющим имитировать эти реальные объекты и создавать их дубликаты с помощью математических формул. Тот факт, что эти дубликаты или имитации были основаны на статистических моделях, вызывал законное удивление. Потому что никто не ожидал, что в объяснении происходящего окажется столько случайного .
Однако теория детерминистского хаоса как раз тогда находилась в стадии образования. Очень хорошо читается книга, написанная на эту тему Глейком (подробнее см. ). Фундаментальный факт состоит в том, что динамическая система может быть абсолютно детерминистской, но не обнаруживать правильного и ручного поведения, а именно этим поведением ограничиваются все известные мне курсы механики. Она может обнаруживать так называемые хаотические формы поведения. Они неслучайны, но рассматривать их как нечто, возникающее не в результате стихийного случая, стоит большого труда.
Изучение детерминистского хаоса порождает бесчисленное количество очень сложных геометрических форм. Обычная геометрия полностью непригодна для их изучения, тогда как фрактальная геометрия изначально представляла собой средство, в высшей степени подходящее для их изучения.
Термин «хаос», прежде чем ему приписали только что обсуждавшийся формальный смысл, часто использовался для описания поведения биржи. Отсюда только один шаг отделяет нас от постановки вопроса о том, можно или нельзя объяснить данное поведение в вышеупомянутом формальном смысле. Более того! В механике хаос вызывает удивление, поскольку там действуют неоспоримые детерминистские законы. При изучении же финансов действия сколько-нибудь похожих законов мы не наблюдаем.
Глава 1.2. Самоподобие и самоаффинность
Некоторый объект называется самоподобным, если его «целое» (то есть сам объект, взятый целиком) можно разделить на «части», каждая из которых получается из целого посредством преобразования подобия, то есть редукции или линейного сжатия. С математической точки зрения процесс редукции можно повторять произвольное число раз. Отсюда сразу следует, что самоподобный математический объект состоит из бесконечно малых деталей. Между тем реально существующие фракталы ограничены и лишены бесконечно малых деталей.
Огибающая кривая: кривая Коха или «снежинка». Этот объект придумал в 1904 году математик Хельге фон Кох. Ему хотелось убедить скептиков не только в том, что можно построить непрерывную кривую, не имеющую касательной ни в одной точке, но и в том, что это свойство получается очень простым образом.
Для того, чтобы построить внутреннюю область трети снежинки, надо предпринять шаги, показанные на рис. 1. Начинаем с отрезка единичной длины, который делится на три части. К средней из этих частей прилагаются два других отрезка так, чтобы получился равносторонний треугольник. Точно так же поступаем затем с отрезками длины 1/3, 1/9, 1/27 и т.д.
Рис. 1. Построение кривой Коха («снежинки»). Последовательные аппроксимации кривой представлены границей между черным и белым
Через n поколений равносторонних треугольников получаем ломаную линию, которая и будет границей объекта, изображенного на рис. 1. Поскольку первоначальная длина стороны треугольника равна трем единичным отрезкам, а после «вытягивания» – четырем единичным отрезкам, длина ломанной границы снежинки равна 4/3 в степени n . Поскольку множитель 4/3 больше единицы, эта длина бесконечно возрастает вместе с n . Граница стремится к пределу бесконечной длины.
В самоподобии непременно участвует концепция вращения, а также изменения длины отрезка, в частности, можно говорить об операции уменьшения этой длины в некотором соотношении r .
Термин «аффинные» введен великим математиком Леонардом Эйлером . Самоаффинность исключает вращение, однако ее операции распадаются на перенос и редукцию, подверженную куда меньшему числу ограничений, чем в случае самоподобия. При всем этом теория самоаффинности неизбежно сложнее и запутаннее, чем в случае самоподобия. Без решения остаются множество очень простых математических вопросов.
К счастью, можно достичь замечательного компромисса между простотой и мощностью, используя аффинности, которые я называю диагональными, так как у их матрицы есть только диагональные элементы. Такая аффинность - это преобразование, сжимающее графики в двух разных отношениях: в отношении r t по времени и в каком-либо другом отношении r p по цене.
Мы будем говорить, что некоторая хроника обладает диагональной самоаффинностью, если ее редуцированная форма полностью идентична, точно или только статистически, любой ее части, менее протяженной во времени.
На рис. 2 показано, как строится самоаффинная кривая, соединяющая точки X (0) = 0 и X (1) = 1 внутри единичного квадрата. В качестве «инициатора» берется диагональ с единичным наклоном, а в качестве «генератора» - ломаная линия, т.е. кривая, составленная из конечного числа отрезков прямой таким образом, чтобы проходить из левого нижнего угла в правый верхний (см. маленький график вверху слева). На следующем этапе каждый отрезок генератора заменяется своей аффинной копией, уменьшенной и перенесенной так, чтобы две ее крайние точки совпадали с концами исходного отрезка (второй маленький график). Далее показаны 3-й и 4-й этапы, а также некоторый значительно более поздний этап.
Рис. 2. Диагональные самоаффинные построения
Самоаффинные кривые описанного выше вида суть эскизы финансовой реальности!
Глава 1.3. Принципы масштабирования, масштабируемые распределения, фрактальные размерности и показатель Н
Говорят, что две измеримые величины X и Y связаны законом масштабирования, когда существует такой показатель ε , что X = Y ε , или, иначе говоря, когда logX/log Y = const. Для характеристики самоподобия используется геометрический показатель – размерность подобия. Вернемся к построению кривой, составляющей снежинку. Генератор состоит из N = 4 отрезков, каждый из которых имеет длину r = 1/3. Размерность подобия:
В случае самоаффинности все оказывается гораздо сложнее. Например, для графика цены Р в зависимости от времени t можно записать:
В моих моделях цена P(t) - это недифференцируемая функция времени t, что на практике означает, что угол наклона отношения ∆Р/∆t очень сильно зависит от ∆t (и от случая), так что он бесполезен при оценке уровня изменчивости. Напротив, показатель H(t) изменяется мало, поэтому может быть очень полезен, при условии, что мы привыкнем рассуждать в терминах этого показателя.
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. МНОЖЕСТВЕННОСТЬ «СОСТОЯНИЙ» СЛУЧАЯ
Глава 2.1. От случая ручного к случаю стихийному
Понятие «случай» выступает в науке в самых разных формах, и мы только выиграем, если предположим, что случай может находиться в нескольких различных «состояниях». «Ручное» состояние случая уже тысячу раз доказало нам свою полезность, но его недостаточно для описания процессов, происходящих на бирже, или многих других природных или социальных феноменов. Я воспользуюсь другим термином - «стихийное». Кроме того, необходимо допустить наличие третьего состояния, которое я буду называть «медленным».
В чем же заключалась центральная мысль моих работ в области финансов? Общепринятое предположение следовало за физикой и успокаивалось на броуновском движении. Допускалось, что цены - это непрерывные функции от времени, а их флуктуации не более значительны, чем флуктуации, описываемые уже классическим распределением Гаусса. Но изучение фактов показало обратное: функции разрывны, а их флуктуации достигают огромных значений. И если броуновский случай очень легко квалифицировать как ручной, то для описания биржи необходима какая-то совершенно другая форма случая.
Если мы хотим доказать, что та или иная наука перешла в разряд точных, то самыми существенными будут в таком доказательстве аргументы, демонстрирующие ручной характер наиболее важных из имеющихся в данной науке флуктуаций. И наоборот, науки, в которых основными видами шума управляет стихийный случай, рискуют долгое время оставаться среди «не совсем точных».
Широко распространено и противоположное мнение: единственное преимущество точных наук состоит в том, что у них было больше времени для развития - мне, впрочем, кажется, что эта точка зрения противоречит урокам истории. Даже если ограничиться теми феноменами, которые наш разум называет физическими, то задача о предсказании разливов рек и задача о предсказании положения планет были поставлены приблизительно в одно и то же время, однако первая из них надолго осталась в области суеверий, тогда как вторая развивалась самым блестящим образом - результатом этого развития, собственно, и стала физика, «как она есть». Просто «так случилось», что флуктуации в последней задаче малы и в пределе пренебрежимы.
Глава 2.5. Ной, Иосиф и несколько примеров стихийного случая, малопонятных, но неизбежных
Зачастую в поисках опоры мы хватаемся за утверждение о том, что эффекты Ноя и Иосифа могут быть только переходными. Отсюда - поразительные и дорогостоящие попытки построить процессы, которые я рассматриваю как имитацию этих эффектов при среднем количестве данных, асимптотически всегда ручных.
Поразительный пример - распределение личных доходов. Формула, предложенная Парето в 1896 году, имеет, как мы увидим, одну особенность - ее дисперсия бесконечно велика. Это и есть проявление эффекта Ноя; если он постоянен, возможность применения центральной предельной теоремы исключается.
Многим авторам эта последняя возможность казалась попросту немыслимой; ее следовало избежать любой ценой. Некоторые предлагали урезать аналитическое выражение Парето, учитывая тот факт, что никакой личный доход не превосходит, допустим, триллиона франков. Конечно, это позволяло спасти желанный вывод, то есть «прирученность» асимптотического поведения; нужный результат получается за счет отодвигания вышеупомянутой асимптотики в будущее, не представляющее для нас никакого интереса.
Ряд других авторов (начиная с самого Парето) предлагали добавить к вычисляемому распределению экспоненциальный член, который будет играть свою роль только в асимптотике. Многие авторы настаивали на том, чтобы заменить это распределение на логнормальное, которое опять-таки не окажет особого воздействия на данные обычной величины, но взамен предложит нам ручную асимптотику.
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. СЛУЧАЙНОЕ НА БИРЖЕ
ГЛАВА 3.1. Разрывность и концентрация
Всякий, кто рискнет заняться изучением какой-нибудь реальной биржевой хроники, сначала непременно столкнется с призраком Башелье. Луи Башелье (1870–1940) стал самым настоящим предтечей, даже знакомство с его биографией заслуживает того, чтобы потратить на него время. В 1900 году теория вероятностей сводилась, по большей части, к собранию простых комбинаторных примеров, статистика еще не появилась на свет, а Парето был практически единственным математиком-экономистом. Именно в 1900 году Башелье получил звание доктора математических наук, защитив диссертацию на тему «Математическая теория спекуляций».
Пусть Z(t) – цена данного количества некоторого продукта в момент времени t. Башелье постулирует, что Z(t + Т) – Z(t) есть гауссовская случайная величина, среднее значение которой равно нулю, а дисперсия зависит от t и Т. Рассматривается поправка, согласно которой гауссовской случайной величиной будет, скорее, выражение
L (t , Т) = logZ (t + Т) – logZ (t )
Существует множество способов представления изменения цены.
A) Специалисты в области «технического анализа» намерены научиться предсказывать будущее на основе изменений прошлого. Их методы весьма изящны, но их описание редко бывает точным настолько, чтобы сделать возможной их проверку. В исключительных допускающих проверку случаях полученные с их помощью результаты оказываются необоснованными.
C) Башелье сам ослабил свои высказанные в 1900 году идеи, допустив, что дисперсия случайной величины L(t, Т) зависит от t. Более того, он отметил, что смесь гауссовских распределений с разными дисперсиями дает распределение с очень длинными краями. И добавил, что некоторые большие изменения цены происходят вследствие так называемых «угроз взрыва», так что их нельзя рассматривать вместе с малыми случайными изменениями. Эти два дополнения, которые Башелье внес в свою модель, существенно ограничивают ее значимость.
Из рассуждений Башелье (пункт С) мы можем непосредственно заключить, что по сравнению с изменчивостью непредсказуемой экономики изменчивость любого случайного процесса оказывается недостаточной. Я предлагаю перевернуть обычные рассуждения: вместо того, чтобы говорить, что некоторые изменения велики, поскольку они имеют причину, я буду говорить, что, наблюдая большое изменение цены, мы приходим к выводу о необходимости отыскать (вообще говоря, a posteriori ) причины, спровоцировавшие это изменение; малые изменения такого особого внимания не заслуживают.
Построив гистограмму изменений цены (рис. 3), можно констатировать, что зачастую она почти симметрична, при этом, как правило, отчетливо заметно, что нормальной она не является. Гауссовская аппроксимация, показанная на рис. 3, одинаково плоха на всех участках. У некоторых ученых возникает искушение поступить с длинными хвостами так, чтобы вовсе о них не думать. Я же, напротив, считаю, что длинные хвосты гистограмм изменения цены скрывают значительную информацию, и есть много веских оснований вплотную ими заняться.
Рис. 3. Распределение изменения цены как правило является негауссовским
Если кривые, постулируемые броуновским движением, непрерывны, то кривые, которые встречаются в действительности, таковыми не являются. При этом каждый раз, когда цена терпит сильный разрыв, к хвостам распределения изменений цены добавляется новая точка.
Среднее эмпирическое. Особых проблем в случае изменений цены это значение не причиняет - в том смысле, что средние, соответствующие выборкам, возрастающим по размеру, достаточно быстро стабилизируются вблизи некоторой величины, которую можно принять за аналог асимптотического предела.
Среднее квадратическое. Для некоторых цен оно ведет себя весьма ненадежным образом.
- Эти значения, соответствующие различным выборкам одной и той же длины, могут относиться друг к другу даже как 1 к 100.
- Для выборок с последовательно возрастающей длиной эти значения, по-видимому, не стабилизируются. Таким образом, не существует величины, которую хотелось бы принять в качестве аналога предельной величины.
- Вклады различных значений в среднее квадратическое очень отличаются. Наибольшим индивидуальным вкладом нельзя пренебречь, даже когда выборка очень велика.
- Грубо говоря, среднее квадратическое возрастает вместе с длиной выборки (рис. 4).
Рис. 4. Иллюстрация неустойчивого характера второго эмпирического момента. Здесь рассматривается разность logZ(t + одна неделя) – log Z(t), где Z(t) – цена на зерно. Выборка возрастает от 1 до 1000, каждый раз включая в себя предыдущую выборку. Если бы ожидание квадрата переменной было конечным и не очень большим, то кривая должна была бы стремиться к некоторому пределу. В данном случае это не так.
Глава 3.2. Псевдопериодичности
Если сравнивать экономические хроники с хрониками разливов Нила, то первое их сходство состоит в характерном для обоих непериодическом циклическом поведении. Рассматривая циклические феномены, мы поражаемся тому, насколько много длительностей имеют различные циклы, равно как и слабости критериев их определения и дифференциации. Например, хроника, охватывающая целый век, обнаруживает короткие циклы продолжительностью от 5 до 10 лет, а также долгие циклы с продолжительностью от 20 до 40 лет. То, что в близкой перспективе казалось тенденцией к росту, в действительности оказывается началом цикла, который тут же заканчивается изменением направления. Некоторые наблюдатели увидят в той же самой хронике и средние циклы, но им будет сложно провести различие между «укороченными» средними и «удлиненными» короткими циклами.
Однако, все периодичности суть «артефакты», не характеристика процесса, но, скорее, совокупный результат зависящий от собственно процесса, длины выборки и суждения экономиста или гидролога.
Эмпирическое открытие Херста состоит в том, что диаграммы R/S, относящиеся к эмпирическим хроникам, в общем случае состоят из кривых, тесно обвивающих некоторую прямую, но угол наклона Н этой прямой изменяется от случая к случаю. Иногда он равен 0,5 (с небольшими отклонениями), иногда принимает такие значения, как 0,7 и даже 0,85. Неравенство Н > 0,5 исключает гипотезу о том, что все величины X являются независимыми и гауссовскими.
Предыдущие исследования единодушно предсказывали, что R(t, d) должно возрастать пропорционально корню из d, тогда как Херст делает эмпирическое (и весьма хорошо документированное) открытие, что R(t,d) возрастает пропорционально d в степени Н, где Н находится вблизи 0,7.
Обычная интуиция в области стационарных процессов подсказывает, что достаточно отдаленные друг от друга будущее и прошлое должны становиться асимптотически независимыми. Именно так оно и есть для белого шума. Но в случае дробных шумов, у которых Н не равен 0,5, корреляция между средним из Т ближайших прошлых значений и средним из Т ближайших будущих значений, как оказывается, не равна нулю!
Анализ R/S подтверждает и значительно усиливает общее правило: экономические циклы настолько далеки от периодичности и настолько зависят как от длины, имеющейся в нашем распоряжении выборки, так и от предпочтений наблюдателя, что вплоть до новых распоряжений их следует рассматривать как артефакты. Если верить Кейнсу , ценность таких циклов заключается прежде всего в том, что с их помощью очень удобно разбивать на главы учебники по истории экономики.
Глава 3.3. Броуновская дробность в мультифрактальном биржевом времени
С точки зрения самоаффинных кривых, которые являются графиками функций, показатель Н играет ту же роль, какую играет фрактальная размерность с точки зрения самоподобных множеств. В модели Башелье предполагалось, что dP ~ (dt) 1/2 . Показатель не изменяется со временем и равен 1/2. В моих моделях 1963 и 1965 гг. предполагалось, что dP ~ (dt) H . Показатель Н по-прежнему не зависит от времени, но отличен от 1/2.
Можно сказать, что вплоть до настоящего времени степень, в которую возводилось dt, принимала одно и то же значение для всех t. Из этих соображений модели 1963 и 1965 гг. можно охарактеризовать как унифрактальные. Из модели 1972 г., напротив, следует, что P(t + dt) – P(t) ~ (dt) Н(t) . Здесь показатель H(t) непрерывно изменяется со временем и принимает множество значений. Из этих соображений данная модель характеризуется как мультифрактальная.
Теперь мы подходим к ключевой идее. Мы больше не будем выражать изменчивость цены с помощью переменного показателя, основанного на обычном времени, которое показывают часы. С таким же успехом можно поменять их ролями и представить себе изменчивость с постоянным показателем, но в «биржевом времени», которое течет в очень неправильном ритме.
Эта концепция совершенно законна, поскольку, как и большая часть человеческой деятельности, биржа не подчиняется времени, которое измеряют физические часы; совсем наоборот, ее активность постоянно то ускоряется («разогревается»), то замедляется («охлаждается»).
Технический анализ всевозможных числовых последовательностей, к которым относятся и котировки активов за определенный период, осуществляется разнообразными математическими методами. Ни один из них не является универсальным, а каждый их них эффективен лишь при определенных условиях. Далее рассмотрим свойства фрактала Мандельброта и его применение в анализе на форекс.
В общем случае фракталами в математике называются такие множества чисел или геометрических фигур, которые обладают свойством самоподобия. Любой объект с этим свойством в определенной степени совпадает с частью самого себя. При этом каждая часть может, в свою очередь, состоять из других частей, подобных ей. Количество таких самоподобных уровней может быть как бесконечным, так и конечным. На рынке форекс количество самоподобных уровней ограничено снизу тиковым графиком.
Бенуа Мандельброт и его фракталы
Обладая уникальным пространственным мышлением Б. Мандельброт даже не получив среднее образование сумел поступить в политехническую школу и затем сумел получить высшее образование (ему дали докторскую степень). Во время работы в IBM он изучал разнообразные прикладные задачи математики, в том числе, в области экономики. Именно тогда он увидел, что любые ценовые колебания можно описать определенным математическим методом, который не соответствовал стандартным геометрическим кривым.
Обнаружил такой феномен он во время изучения ценовой динамики на хлопок за несколько десятилетий. Хотя движения цен и были очень похожи на случайные, но определенный порядок в них Мандельброт сумел разглядеть. В частности, он обнаружил одинаковую симметричность длительных и кратковременных колебаний.
Для объяснения такого нового свойства ценовой динамики Мандельброт применил рекурсивный метод. В упрощенном виде, этот метод описывается формулой, в которой каждый последующий член рассчитывается как сумма квадрата предыдущего члена и постоянной величины. В качестве термина для таких множеств ввел понятие «фрактал».
Применив созданную фрактальную геометрию для объяснения ценовых движений, Мандельброт сумел с высокой степенью точности спрогнозировать возникновение многих рыночных состояний, которые не было возможно предсказать другими средствами анализа. Поэтому в дальнейшем фрактальная аналитика начала очень стремительно развиваться.
Как описывается рынок фракталами Мандельброта
Для задания любого фрактала требуется два элемента – инициатор и генератор. В отношении графиков котировок инициатором может служить отрезок (рис. 1), соединяющий два разных соседних экстремума (минимум и максимум). Этот отрезок может быть направлен слева направо вверх (в этом случае на рынке рост – зеленый отрезок на рис. 1) или вниз (в этом случае на рынке падение – красный отрезок на рис. 1).
В качестве генератора может использоваться простейшая комбинация из трех последовательных отрезков (т. е. конец предыдущего отрезка является началом следующего отрезка), называющаяся «импульс-откат-импульс» (рис. 2):
- если ценовой импульс направлен вверх, то в этом генераторе последующие максимум и минимум лежат выше предыдущих максимума и минимума, в результате чего образуется восходящий тренд (выделен желтым прямоугольником на рис. 2);
- если ценовой импульс направлен вниз, то в этом генераторе последующие максимум и минимум лежат ниже предыдущих максимума и минимума, в результате чего образуется нисходящий тренд (выделен синим прямоугольником на рис. 2).
Существует множество иных генераторов фракталов, которые в общем случае, могут состоять из любого количества инициаторов.
Инициаторы любого генератора может быть разложен на другие генераторы и т. д. Таким образом, генераторы являются фракталами – самоповторяющимися структурами. Они будут повторяться вплоть до самого нижнего ценового уровня – тикового. При этом у фракталов низкого уровня соотношения геометрических размеров инициаторов будут с высокой степенью эквивалентны фракталам высшего уровня.
Фракталы Мандельброта в МТ4
В торговом терминале MetaTrader инструмент фрактального анализа называется Fractals и расположен он в меню «Вставка-Индикаторы-Билла Вильямса». Объясняется это тем, что именно Б. Вильямс разработал наиболее полную теорию фрактального анализа.
Работа этого инструмента технического анализа заключается в поиске таких последовательностей из пяти идущих подряд свечей, у которых:
- максимум средней свечи выше максимумов остальных свечей (бычий фрактал – выделен голубым прямоугольником на рис. 3);
- минимум средней свечи ниже минимумов остальных свечей (медвежий фрактал – выделен желтым прямоугольником на рис. 3).
Одно из основных применений фракталов Мандельброта заключается в расстановке уровней поддержки и сопротивления. Также они могут применяться для идентификации текущей тенденции:
- если уровни бычьих фракталов последовательно повышаются, то на рынке восходящий тренд;
- если уровни медвежьих фракталов последовательно понижаются, то на рынке нисходящий тренд.
